Toán 10 Phương trình nghiệm nguyên

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]p[/imath] là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả các cặp số nguyên [imath]x,y[/imath] thỏa mãn [imath]x^p+y^p=p[(p-1)!]^p[/imath].
Mong được giúp đỡ ạ!

 

[7 1 2 5]

Nhận thấy [imath]((p-1)!,p)=1[/imath] nên [imath]p[(p-1)!]^p \vdots p[/imath] và [imath]p[(p-1)!]^p \not vdots p^2[/imath]
Từ đó [imath]x^p+y^p \vdots p[/imath] và [imath]x^p+y^p \not vdots p^2[/imath]
Nếu như [imath]x \vdots p[/imath] thì [imath]y \vdots p[/imath]
[imath]\Rightarrow x^p+y^p \vdots p^p \vdots p^2[/imath](mâu thuẫn)
Từ đó [imath]x \not \vdots p \Rightarrow y \not \vdots p[/imath]
Áp dụng định lý Fermat nhỏ thì [imath]x^p \equiv x, y^p \equiv y(\mod p)[/imath]
[imath]\Rightarrow 0 \equiv x^p+y^p \equiv x+y (\mod p)[/imath]
Áp dụng bổ đề LTE ta có [imath]v_p(x^p+y^p)=v_p(x+y)+v_p(p) \geq 2[/imath] nên [imath]x^p+y^p \vdots p^2[/imath]
Vậy tóm lại không tồn tại cặp số nguyên [imath](x,y)[/imath] thỏa mãn đề bài.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG