Xét các trường hợp:
+ [imath]y \vdots 2[/imath].
Khi đó từ giả thiết thì [imath]3^x-1=8^y+2xy \vdots 4 \Rightarrow x \vdots 2[/imath]
Đặt [imath]x=2a,y=2b (a,b \in \mathbb{N}^*)[/imath] thì từ giả thiết ta được:
[imath](3^a)^2-(8^b)^2=8ab+1 \Rightarrow (3^a-8^b)(3^a+8^b)=8ab+1[/imath]
Nhận thấy [imath]VP >0 \Rightarrow VT >0 \Rightarrow 3^a-8^b>0 \Rightarrow 3^a-8^b \geq 1[/imath]
Mặt khác, bằng quy nạp ta chứng minh được [imath]3^a \geq 4a^2+1 \forall a \geq 5[/imath] và [imath]8^b \geq 4b^2+1 \forall b \geq 1[/imath]
[imath]\Rightarrow 3^a+8^b \geq 4a^2+4b^2+2 \geq 8ab+2 >8ab+1 \forall a \geq 5[/imath].
Từ đó [imath]a \geq 5[/imath] không thỏa mãn hay [imath]1 \leq a \leq 4[/imath]. Lần lượt thử chọn ta được [imath]a=2,b=1 \Rightarrow x=4,y=2[/imath]
+ [imath]y \not vdots 2[/imath]
Khi đó [imath]2xy=3^x-(8^y+1)[/imath]. Vì [imath]y \not \vdots 2[/imath] nên [imath]8^y+1 \vdots 9 \vdots 3[/imath].
Từ đó [imath]2xy \vdots 3 \Rightarrow xy \vdots 3[/imath]
Ta có [imath]v_3(2xy)=v_3(3^x-(8^y+1))=\min \lbrace{ v_3(3^x),v_3(8^y+1) \rbrace}[/imath]
Áp dụng định lý LTE ta có: [imath]v_3(8^y+1)=v_3(8+1)+v_3(y)=2+v_3(y)[/imath]
[imath]\Rightarrow v_3(2xy)=\min \lbrace{ x,v_3(y)+2 \rbrace}[/imath]
Nếu [imath]x \not \vdots 3[/imath] thì [imath]v_3(2xy)=v_3(y) \Rightarrow v_3(y)=\min \lbrace{ x,v_3(y)+2 \rbrace}[/imath]
Hiển nhiên [imath]v_3(y)+2 >v_3(y)[/imath] nên [imath]x=v_3(y) \Rightarrow y \vdots 3^x \Rightarrow 2xy>y>3^x>3^x-(8^y+1)=2xy[/imath](mâu thuẫn)
Vậy [imath]x \vdots 3[/imath]. Đặt [imath]x=3k (k \in \mathbb{N}^*)[/imath] thì từ giả thiết ta có:
[imath](3^k)^3-(2^y)^3=4ky+1 \Rightarrow (3^k-2^y)(3^{2k}+3^k \cdot 2^y+2^{2y})=4ky+1[/imath]
Vì [imath]VP >0 \Rightarrow VT >0 \Rightarrow 3^k-2^y>0 \Rightarrow 3^k-2^y \geq 1[/imath]
Áp dụng quy nạp ta chứng minh được [imath]3^{2k} \geq 3k^2 \forall k \geq 1,2^{2y} \geq 3y^2 \forall y \geq 1[/imath]
[imath]\Rightarrow 3^{2k}+3^k\cdot 2^y+2^{2y} > 3k^2+1+3y^2\geq 6ky+1[/imath](mâu thuẫn)
Vậy, kết luận phương trình có nghiệm nguyên duy nhất [imath](x,y)=(4,2)[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
