Để cho dễ thì ta đặt [TEX]x^2+y^2+6=kxy[/TEX]
Nhận thấy nếu [TEX](x,y)[/TEX] thỏa mãn đề bài thì [TEX](x,-y),(-x,y)[/TEX] cũng thỏa mãn nên ta xét [TEX]x,y,k[/TEX] nguyên dương.
Theo nguyên lí cực hạn, tồn tại cặp [TEX](x_0,y_0)[/TEX] thỏa mãn phương trình trên và [TEX]x_0+y_0[/TEX] nhỏ nhất[TEX](x_0,y_0>0)[/TEX]. Nhận thấy vai trò [TEX]x,y[/TEX] như nhau nên ta giả sử [TEX]x_0 \geq y_0[/TEX]
Xét phương trình [TEX]x^2+y_0^2+6=kxy_0 \Leftrightarrow x^2-ky_0x+y_0^2+6=0[/TEX](1)
(1) có nghiệm là [TEX]x_0[/TEX] và 1 nghiệm khác là [TEX]x_1[/TEX].
Theo định lí Vi-ét thì [TEX]x_0x_1=y_0^2+6>0[/TEX] nên [TEX]x_1>0[/TEX]
Từ đó [TEX](x_1,y_0)[/TEX] cũng thỏa mãn phương trình đề bài. Theo cách chọn cặp [TEX](x_0,y_0)[/TEX] có [TEX]x_0+y_0[/TEX] nhỏ nhất nên [TEX]x_1+y_0 \geq x_0+y_0 \Rightarrow x_1 \geq x_0[/TEX]
Lại theo định lí Vi-ét thì [TEX]2x_0 \leq x_1+x_0=ky_0 \Rightarrow \dfrac{x_0}{y_0} \leq \dfrac{k}{2}[/TEX]
Từ (1) thì [TEX]k=\dfrac{x_0}{y_0}+\dfrac{y_0}{x_0}+\dfrac{6}{x_0y_0} \leq \dfrac{k}{2}+1+\dfrac{6}{x_0y_0}[/TEX]
Nếu [TEX]x_0=y_0[/TEX] thì [TEX]2x_0^2+6=kx_0^2 \Rightarrow (k-2)x_0^2=6 \Rightarrow x_0=1,k=8[/TEX]
Nếu [TEX]x_0>y_0 thì x_0 \geq y_0+1 \geq 2[/TEX]
Ta có [TEX]y_0^2+6=x_1x_0 \geq x_0^2 \geq (y_0+1)^2 \Rightarrow y_0 \leq 2[/TEX]
+ [TEX]y_0=2 \Rightarrow x_1x_0=10[/TEX]
Vì [TEX]x_1 \geq x_0 >2[/TEX] và [TEX]10 \vdots x_0[/TEX] nên [TEX]x_0 \geq 5[/TEX](mâu thuẫn)
+ [TEX]y_0=1 \Rightarrow x_1x_0=7 \Rightarrow x_1=7,x_0=1[/TEX](mâu thuẫn)
Vậy thì chỉ có [TEX]k=8[/TEX] thỏa mãn.
Nhận thấy nếu thay [TEX](x,y,k)[/TEX] bởi [TEX](x,-y-k)[/TEX] cũng thỏa mãn nên [TEX]k=-8[/TEX] cũng thỏa mãn.
Tóm lại thì [tex]A \in \left \{ -8,8 \right \}[/tex] nên ta có đpcm.
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
