Toán 9 Phương trình nghiệm nguyên

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]f(x)=x^2-ax+b[/tex] [tex](a,b\in \mathbb{Z})[/tex] thỏa mãn tồn tại các số nguyên m, n, p đôi một phân biệt và [tex]1\leq m,n,p\leq 9[/tex] sao cho [tex]|f(m)|=|f(n)|=|f(p)|=7[/tex]
Tìm tất cả các bộ số [tex](a,b)[/tex]

 

[7 1 2 5]

Nhận thấy [TEX]f(x)[/TEX] là đa thức bậc 2 có hệ số bậc 2 là dương nên không xảy ra [TEX]f(m)=f(n)=f(p)=\pm 7[/TEX]
Xét các trường hợp:
+ [TEX]f(m)=f(n)=7,f(p)=-7[/TEX]
Khi đó [TEX]x^2-ax+b-7=(x-m)(x-n)[/TEX]. Từ đó [TEX]f(p)=(p-m)(p-n)+7=-7[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (p-m)(p-n)=-14[/TEX]
Vì [TEX]|p-m|,|p-n| \leq 8[/TEX] nên ta có [tex]p-m,p-n \in \left \{ -2,7 \right \}[/tex] hoặc [tex]p-m,p-n \in \left \{ 2,-7 \right \}[/tex]. Cả 2 trường hợp đều dẫn tới [TEX]|m-n|=9[/TEX](mâu thuẫn)
+ [TEX]f(m)=f(n)=-7,f(p)=7[/TEX]
Tương tự ta được [TEX](p-m)(p-n)=14[/TEX].
Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]|p-m| \geq |p-n|[/TEX]. Khi đó thì [TEX]p-m=7,p-n=2[/TEX] hoặc [TEX]p-m=-7,p-n=-2[/TEX]. Kết hợp giả thiết [TEX]1 \leq m,n,p \leq 9[/TEX] ta tìm được [TEX]m,n,p[/TEX], từ đó suy ra [TEX](a,b) \in [/TEX][tex]\left \{ (11,17),(13,29),(7,-1),(9,7) \right \}[/tex]

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.