Toán 8 Phương trình nghiệm nguyên

[Lê Duy Vũ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[tex]\frac{2016}{x+y}+\frac{x}{y+2015}+\frac{y}{4031}+\frac{2015}{x+2016}=2[/tex]
Giúp em với ạ

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[tex]\frac{2016}{x+y}+\frac{x}{y+2015}+\frac{y}{4031}+\frac{2015}{x+2016}=2[/tex]
Giúp em với ạ

*chứng minh bài toán phụ:
với a;b;c;d >0 ta luôn có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2\\\\ +, \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\\\\ =(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a})+(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b})\\\\ =\frac{ad+a^2+bc+c^2}{(b+c).(d+a)}+\frac{ba+b^2+cd+d^2}{(c+d).(a+b)}\\\\ \geq \frac{4.(ad+a^2+bc+c^2}{(b+c+d+a)^2}+\frac{4.(ba+b^2+cd+d^2)}{(a+b+c+d)^2}\\\\ =\frac{4.(a^2+b^2+c^2+ab+ad+bc+cd)}{(a+b+c+d)^2}\\\\ +, 2.(a^2+b^2+c^2+ab+ad+bc+cd)-(a+b+c+d)^2\\\\ =a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd= (a-c)^2+(b-d)^2\geq 0[/tex]
=> đpcm
dấu "=" xảy ra <=> a=c và b=d
thay số vào...

 

[Khôi Bùi]

*chứng minh bài toán phụ:
với a;b;c;d >0 ta luôn có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2\\\\ +, \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\\\\ =(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a})+(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b})\\\\ =\frac{ad+a^2+bc+c^2}{(b+c).(d+a)}+\frac{ba+b^2+cd+d^2}{(c+d).(a+b)}\\\\ \geq \frac{4.(ad+a^2+bc+c^2}{(b+c+d+a)^2}+\frac{4.(ba+b^2+cd+d^2)}{(a+b+c+d)^2}\\\\ =\frac{4.(a^2+b^2+c^2+ab+ad+bc+cd)}{(a+b+c+d)^2}\\\\ +, 2.(a^2+b^2+c^2+ab+ad+bc+cd)-(a+b+c+d)^2\\\\ =a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd= (a-c)^2+(b-d)^2\geq 0[/tex]
=> đpcm
dấu "=" xảy ra <=> a=c và b=d
thay số vào...

đúng bài chiều cô chữa

 

[Lê Duy Vũ]

*chứng minh bài toán phụ:
với a;b;c;d >0 ta luôn có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2\\\\ +, \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\\\\ =(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a})+(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b})\\\\ =\frac{ad+a^2+bc+c^2}{(b+c).(d+a)}+\frac{ba+b^2+cd+d^2}{(c+d).(a+b)}\\\\ \geq \frac{4.(ad+a^2+bc+c^2}{(b+c+d+a)^2}+\frac{4.(ba+b^2+cd+d^2)}{(a+b+c+d)^2}\\\\ =\frac{4.(a^2+b^2+c^2+ab+ad+bc+cd)}{(a+b+c+d)^2}\\\\ +, 2.(a^2+b^2+c^2+ab+ad+bc+cd)-(a+b+c+d)^2\\\\ =a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd= (a-c)^2+(b-d)^2\geq 0[/tex]
=> đpcm
dấu "=" xảy ra <=> a=c và b=d
thay số vào...

Thầy mình cũng dùng cách này nhưng mình thấy nó dài quá
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2\\\\[/tex] là bất đẳng thức Nesbitt 4 biến đúng ko?
Có ai biết cách cứng minh bđt đó nhanh hơn ko?[/tex]

 

[Khôi Bùi]

Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz ( 1 dạng của bđt bunhiacopxki )

 

[Lê Duy Vũ]

Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz ( 1 dạng của bđt bunhiacopxki )

Nếu ngắn hơn thì bạn cm giúp mình với

 

[Khôi Bùi]

a/b+c + b/c+d + c/d+a + d/a+b
= a^2/ab+ac + b^2/bc+bd + c^2/cd+ac + d^2/ad+bd
>= (a+b+c+d)^2/ab + ac + bc + bd + cd + ac + ad + bd
= (a+b+c+d)^2/ab + bc + 2bd + 2ac + ad + cd
= (a+b+c+d)^2/(a+c)(b+d) + 2bd + 2ac
= (a+c)^2 + (b+d)^2 + 2(a+c)(b+d) / (a+c)(b+d) + 2bd + 2ac
>= 4ac + 4bd + 2(a+c)(b+d)/...
= 2