Phương trình nghiệm nguyên

[skysport_fc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]x^6 + 3x^2 +1 = y^4[/TEX]

 

[luongpham2000]

Póc tem ná!
Với $x>0$, ta có: $(x^{3}+1)^{2}=x^{6}+2x^{3}+1<x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$
Còn $(x^{3}+2)^{2}=x^{6}+4x^{3}+4>x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$
$\rightarrow (x^{3}+1)^{2}<y^{4}<(x^{3}+2)^{2}$ nên $y\in \mathbb{Z}$
Với $x$ \leq $-2$, ta có: $x^{3}+3<0$ nên $(x^{3}+2)^{2}=x^{6}+4x^{3}+4<x^{6}+3x^{2}+1=y^{4}$
$(x^{3}+1)^{2}=x^{6}+2x^{3}+1=x^{6}+3x^{2}+1-x^{3}>y^{4}\rightarrow (x^{3}+2)^{2}<y^{4}<(x^{3}+1)^{2}\rightarrow y\in \mathbb{Z}$

Với $x=-1\rightarrow y^{4}=-1$ (vô lý)
Với $x=0\rightarrow y^{4}=1\rightarrow y=\pm 1$. Phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên $(0;1)$ và $(0;-1)$.