một số phương pháp giải PTNN!
Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình nghiệm nguyên :beer .Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót.
I.Các ví dụ
Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
(x+1)2+(x+2)2+...+(x+2001)2=y2
Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành:
(z−1000)2+...+(z−1)2+z2+(z+1)2+...+(z+1000)2=y2
Hay
2001z2+2(12+22+...+10002)=y2
2001z2+261000.1001.2001=y2⇔2001z2+1000.1001.667=y2
VT≡2(mod3)nên nó không thể là số chính phương
e :namtay
VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:
p3−q5=(p+q)2
Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó,
p≡1,2(mod3) ,và
q≡1,2(mod3).Nếu
q≡p(mod3) thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p=3 thì
q5<27,điều đó là không thể
Nếu q=3 ,ta được
p3−243=(p+3)2 và p=7
[tex]\rolleyes[/tex]:
VD 3:Xác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
{p+1=2x2(1)p2+1=2y2(2)
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử
x,y≥0.Chú ý [latex] p + 1 = 2x^2 [/latex] là số chẵn nên p :neq 2 .Ngoài ra
2x2≡1≡2y2(modp) nên suy ra
x≡±y(modp).
Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2)
⇔p2+1=2(p−x)2=2p2−4px+p+1⇒p=4x−1
Vậy (1)
⇔2x2=4x⇒ x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm.
:B)
II.Bài tập tự luyện
1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1:
(x+1)2+(x+2)2+...+(x+99)2=yz
(Olympic Hungari)
:B)
2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
x3+y4=7
3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau:
3x−2y=7
4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
4xy−x−y=z2
( IMO shortlist)
15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt:
ab2=ba
Phương pháp phân tích
Phương pháp này được phát biểu như sau,ta viết phương trình
f(x1,x2,...,xn)=0 về dạng
f1(x1,x2,...,xn)f2(x1,x2,...,xn)...fk(x1,x2,...,xn)=a trong đó
f1,f2,...fk∈Z[X1,X2,...Xn] (nghĩa là các đa thức
f1,f2,...fk có hệ số là các số nguyên) và
a∈Z .Cho biết phân tích ra thừa số nguyên tố của a,ta có được các cách phân tích thành k số nguyên
a1,a2,...,ak.Với mỗi cách phân tích như thế ,ta được một hệ các phương trình :
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧f1(x1,x2,...,xn)=a1f2(x1,x2,...,xn)=a2...fk(x1,x2,...,xn)=ak
Giải tất cả các hệ như thế ta được tập hợp nghiệm
Chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp này qua các ví dụ sau
^_^
VD 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình
(x2+1)(y2+1)+2(x−y)(1−xy)=4(1+xy)
Giải: Viết phương trình trở về dạng
x2y2−2xy+1+x2+y2−2xy+2(x−y)(1−xy)=4
⇔(xy−1)2+(x−y)2−2(x−y)(xy−1)=4⇔[xy−1−(x−y)]2=4⇔(x+1)(y−1)=±2
_ Nếu (x+1)(y-1)=2,ta được hệ các phương trình sau:
[tex] \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 1 = 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 2 \\ y - 1 = - 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{\begin{matrix} x + 1 = 1 \\ y - 1 = 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, & ;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, [/tex]
Giải các hệ trên ta thu được nghiệm của pt là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1)
_Nếu (x+1)(y-1)=-2,ta nhận được hệ phương trình sau
[tex] \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 1 = - 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 2 \\ y - 1 = 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = 1 \\ y - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, & ;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 1 = 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, [/tex]
Và ta thu được các nghiệm là (1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1);(1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3).
^_^
Ví dụ 2:Cho p và q là 2 số nguyên tố ,tìm nghiệm nguyên dương của pt sau:
x1+y1=pq1
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
(x−pq)y−pq)=p2q2
Vì ta cần tìm nghiệm nguyên dương của phương trình và p,q nguyên tố nên dẫn đến hệ phương trình sau
[tex] \left\{ \begin{matrix} x - pq = 1 \\ y - pq = p^2 q^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = p \\ y - pq = pq^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = q \\ y - pq = p^2 q \\ \end{matrix} \right. & \,\,\, [/tex]
[tex] \left\{ \begin{matrix} x - pq = p^2 \\ y - pq = q^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = pq \\ y - pq = pq \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = p^2 q \\ y - pq = p \\ \end{matrix} \right. & \,\,\, [/tex]
[tex] \left\{ \begin{matrix}x - pq = p^2 q \\ y - pq = q \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = q^2 \\ y - pq = p^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = p^2 q^2 \\ y - pq = 1 \\ \end{matrix} \right. & \,\,\, [/tex]
Giải các hệ trên ta được nghiệm của pt đã cho là (1+pq,pq(1+pq)); (p(1+q),pq(1+q)0 ; (q(1+p),pq(1+p)) ; (p(p+q),q(p+q)) ; (2pq,2pq) ; (pq(1+q),p(1+q)) ; (pq(1+p),q(1+p)) ;(q(q+p),q(q+p)) ; (pq(1+pq),1+pq).
:B)
Chú ý: Phương trình
x1+y1=n1 trong đó
n=p1α1.,,,pkαkcó nghiệm nguyên dương là
(1+2α1)...(1+2αk)
Thật vậy ,phương trình trên tương đương với
(x−n)(y−n)=n2 và
n2=p12α1.,,,pk2αkcó các ước nguyên dương là
(1+2α1)...(1+2αk) ^_^
Ví dụ 3:Xác định các cặp nghiệm nguyên không âm (x,y) thỏa mãn phương trình sau
(xy−7)2=x2+y2
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
(xy−6)2+13=(x+y)2⇔(xy−6)2−(x+y)2=−13⇔[xy−6−x−y][xy−6+x+y)=−13⇔⎣⎢⎢⎢⎡{xy−6−x−y=−13xy−6+x+y=1{xy−6−x−y=−1xy−6+x+y=13⇔⎣⎢⎢⎢⎡{x+y=7xy=0{x+y=7xy=6
Nghiệm của pt là(3,4);(4,3);(0,7);(7,0).
Ví dụ 4:Tìm cặp nghiệm nguyên (x,y) của pt sau:
x2(y−1)+y2(x−1)=1
Giải:
Đặt x=u+1,y=v+1,phương trình đã cho trở thành :
(u+1)2v+(v+1)2u=1⇔uv(u+v)+4uv+(u+v)=1⇔uv(u+v+4)+(u+v+4)=5⇔(uv+1)(u+v+4)=5(1)
Từ (1) ta có :
{u+v=1uv=0;{u+v=−9uv=−2;{u+v=−3uv=−4;{lu+v=−5uv=−6
Chỉ có hệ phương trình đầu và cuối có nghiệm là (0,1),(1,-6) và hoán vị dẫn đến (x,y)=(u+1,v+1) là (1,2),(2,-5)và hoán vị.
:lol:
Ví dụ 5:Tìm bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn :
x3+y3+z3−3xyz=p trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 3
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−xz)=p Từ x+y+z>1,ta có x+y+z=p và
x2+y2+z2−xy−yz−xz=1(1).Ta có:
(1)⇔(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2=2.Không mất tính tổng quát ,chúng ta có thể giả sử
x≥y≥z.Nếu x>y>z,ta có:
x−y≥1,y−z≥1,x−z≥2⇒(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2≥6>2 .V“ thế nên x=y=z+1 hay x-1=y=z.Số nguyên tố p chỉ ở dạng 3k+1,3k+2.Trong trường hợp 1 nghiệm của pt là
(3p+2,3p+2,3p+2)và các hoán vị .Ở trường hợp 2,nghiệm của pt là
(3p+1,3p+1,3p−2)
Bài tập tự rèn luyện
1)Cho p và q là 2 số nguyên tố.Tìm cặp nghiệm nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình:
xp+yq=1
2)Tìm nghiệm nguyên dương của pt:
x3−y3=xy+61
3)Giải pt nghiệm nguyên sau trong đó x là số nguyên tố:
x−y4=4
4)Tìm các số nguyên a,b,c với 1<a<b<c thỏa mãn (a-1)(b-1)(c-1) là ước của abc-1.
5)Tìm các tam giác vuông với độ dài mỗi cạnh là số nguyên sao cho diện tích và chu vi của tam giác đó bằng nhau.
6)Giải hệ phương trình sau với x,y,z,u,v là các số nguyên
{x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v)xy+z+uv=xy(u+v)+uv(x+y)
mỏi tay quá!
nếu thấy hay thì thank nha!!!!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn