một số phương pháp giải PTNN!
Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình nghiệm nguyên :beer .Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót.
I.Các ví dụ
Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
[tex] (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 2001)^2 = y^2 [/tex]
Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành:
[tex] (z - 1000)^2 + ... + (z - 1)^2 + z^2 + (z + 1)^2 + ... + (z + 1000)^2 = y^2 [/tex]
Hay [tex] 2001z^2 + 2(1^2 + 2^2 + ... + 1000^2 ) = y^2 [/tex]
[tex] \begin{matrix} 2001z^2 + 2\frac{{1000.1001.2001}}{6} = y^2 \\ \Leftrightarrow 2001z^2 + 1000.1001.667 = y^2 \\ \end{matrix} [/tex]
[tex] VT \equiv 2(\bmod 3) [/tex]nên nó không thể là số chính phương
e :namtay
VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:
[tex] p^3 - q^5 = (p + q)^2 [/tex]
Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó,[tex] p \equiv 1,2(\bmod \,3)\ [/tex],và [tex]q \equiv 1,2(\bmod \,3) [/tex].Nếu [tex] q \equiv p(\bmod \,3) [/tex] thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p=3 thì [tex] q^5 < 27 [/tex],điều đó là không thể
Nếu q=3 ,ta được [tex] p^3 - 243 = (p + 3)^2 [/tex] và p=7
[tex]\rolleyes[/tex]:
VD 3:Xác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
[tex] \left\{ \begin{matrix} p + 1 = 2x^2 \,\,\,\,(1) \\ p^2 + 1 = 2y^2 \,\,\,(2) \\ \end{matrix} \right. [/tex]
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử [tex]x,y \geq 0[/tex].Chú ý [latex] p + 1 = 2x^2 [/latex] là số chẵn nên p :neq 2 .Ngoài ra [tex] 2x^2 \equiv 1 \equiv 2y^2 (\bmod \,p) [/tex] nên suy ra [tex] x \equiv \pm y(\bmod \,p) [/tex].
Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2) [tex] \Leftrightarrow p^2 + 1 = 2(p - x)^2 = 2p^2 - 4px + p + 1 \Rightarrow p = 4x - 1[/tex]
Vậy (1) [tex]\Leftrightarrow 2x^2 = 4x \Rightarrow [/tex] x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm.
:B)
II.Bài tập tự luyện
1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1:
[tex] (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 99)^2 = y^z [/tex]
(Olympic Hungari)
:B)
2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
[tex] x^3 + y^4 = 7 [/tex]
3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau:
[tex] 3^x - 2^y = 7 [/tex]
4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
[tex] 4xy - x - y = z^2 [/tex]
( IMO shortlist)
15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt:
[tex] a^{b^2 } = b^a [/tex]
Phương pháp phân tích
Phương pháp này được phát biểu như sau,ta viết phương trình [tex] f(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = 0 [/tex] về dạng [tex] f_1 (x_1 ,x_2 ,...,x_n )f_2 (x_1 ,x_2 ,...,x_n )...f_k (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a [/tex] trong đó [tex] f_1 ,f_2 ,...f_k \in Z{\rm{[}}X_1 ,X_2 ,...X_n {\rm{]}}[/tex] (nghĩa là các đa thức [tex] f_1 ,f_2 ,...f_k [/tex] có hệ số là các số nguyên) và [tex] a \in Z [/tex] .Cho biết phân tích ra thừa số nguyên tố của a,ta có được các cách phân tích thành k số nguyên [tex] a_1 ,a_2 ,...,a_k [/tex].Với mỗi cách phân tích như thế ,ta được một hệ các phương trình :
[tex] \left\{ \begin{matrix} f_1 (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a_1 \\ f_2 (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a_2 \\ ... \\ f_k (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a_k \\ \end{matrix} \right. [/tex]
Giải tất cả các hệ như thế ta được tập hợp nghiệm
Chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp này qua các ví dụ sau
^_^
VD 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình
[tex] (x^2 + 1)(y^2 + 1) + 2(x - y)(1 - xy) = 4(1 + xy) [/tex]
Giải: Viết phương trình trở về dạng [tex] x^2 y^2 - 2xy + 1 + x^2 + y^2 - 2xy + 2(x - y)(1 - xy) = 4 [/tex]
[tex] \begin{matrix} \Leftrightarrow (xy - 1)^2 + (x - y)^2 - 2(x - y)(xy - 1) = 4 \\ \Leftrightarrow {\rm{[}}xy - 1 - (x - y){\rm{]}}^2 = 4 \\ \Leftrightarrow (x + 1)(y - 1) = \pm 2 \\ \end{matrix} [/tex]
_ Nếu (x+1)(y-1)=2,ta được hệ các phương trình sau:
[tex] \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 1 = 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 2 \\ y - 1 = - 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{\begin{matrix} x + 1 = 1 \\ y - 1 = 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, & ;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, [/tex]
Giải các hệ trên ta thu được nghiệm của pt là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1)
_Nếu (x+1)(y-1)=-2,ta nhận được hệ phương trình sau
[tex] \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 1 = - 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 2 \\ y - 1 = 1 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = 1 \\ y - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, & ;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 1 = 2 \\ \end{matrix} \right.\,\, [/tex]
Và ta thu được các nghiệm là (1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1);(1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3).
^_^
Ví dụ 2:Cho p và q là 2 số nguyên tố ,tìm nghiệm nguyên dương của pt sau:
[tex] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{pq}} [/tex]
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với [tex] (x - pq)y - pq) = p^2 q^2 [/tex]
Vì ta cần tìm nghiệm nguyên dương của phương trình và p,q nguyên tố nên dẫn đến hệ phương trình sau
[tex] \left\{ \begin{matrix} x - pq = 1 \\ y - pq = p^2 q^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = p \\ y - pq = pq^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = q \\ y - pq = p^2 q \\ \end{matrix} \right. & \,\,\, [/tex]
[tex] \left\{ \begin{matrix} x - pq = p^2 \\ y - pq = q^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = pq \\ y - pq = pq \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = p^2 q \\ y - pq = p \\ \end{matrix} \right. & \,\,\, [/tex]
[tex] \left\{ \begin{matrix}x - pq = p^2 q \\ y - pq = q \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = q^2 \\ y - pq = p^2 \\ \end{matrix} \right.\,\,;\,\,\,\left\{ \begin{matrix} x - pq = p^2 q^2 \\ y - pq = 1 \\ \end{matrix} \right. & \,\,\, [/tex]
Giải các hệ trên ta được nghiệm của pt đã cho là (1+pq,pq(1+pq)); (p(1+q),pq(1+q)0 ; (q(1+p),pq(1+p)) ; (p(p+q),q(p+q)) ; (2pq,2pq) ; (pq(1+q),p(1+q)) ; (pq(1+p),q(1+p)) ;(q(q+p),q(q+p)) ; (pq(1+pq),1+pq).
:B)
Chú ý: Phương trình [tex] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n} [/tex] trong đó [tex] n = p_1^{\alpha _1 } .,,,p_k^{\alpha _k } [/tex]có nghiệm nguyên dương là
[tex] (1 + 2\alpha _1 )...(1 + 2\alpha _k ) [/tex]
Thật vậy ,phương trình trên tương đương với
[tex] (x - n)(y - n) = n^2 [/tex] và [tex] n^2 = p_1^{2\alpha _1 } .,,,p_k^{2\alpha _k } [/tex]có các ước nguyên dương là [tex] (1 + 2\alpha _1 )...(1 + 2\alpha _k ) [/tex] ^_^
Ví dụ 3:Xác định các cặp nghiệm nguyên không âm (x,y) thỏa mãn phương trình sau
[tex] (xy - 7)^2 = x^2 + y^2 [/tex]
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
[tex] \begin{matrix}(xy - 6)^2 + 13 = (x + y)^2 \\ \Leftrightarrow (xy - 6)^2 - (x + y)^2 = - 13 \\ \Leftrightarrow {\rm{[xy - 6 - x - y][}}xy - 6 + x + y) = - 13 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} xy - 6 - x - y = - 13 \\ xy - 6 + x + y = 1 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} xy - 6 - x - y = - 1 \\ xy - 6 + x + y = 13 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x + y = 7 \\ xy = 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} x + y = 7 \\ xy = 6 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} [/tex]
Nghiệm của pt là(3,4);(4,3);(0,7);(7,0).
Ví dụ 4:Tìm cặp nghiệm nguyên (x,y) của pt sau: [tex] x^2 (y - 1) + y^2 (x - 1) = 1 [/tex]
Giải:
Đặt x=u+1,y=v+1,phương trình đã cho trở thành :
[tex] \begin{matrix} (u + 1)^2 v + (v + 1)^2 u = 1 \\ \Leftrightarrow uv(u + v) + 4uv + (u + v) = 1 \\ \Leftrightarrow uv(u + v + 4) + (u + v + 4) = 5 \\ \Leftrightarrow (uv + 1)(u + v + 4) = 5(1) \\ \end{matrix} [/tex]
Từ (1) ta có :
[tex] \left\{ \begin{matrix}u + v = 1 \\ uv = 0 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\,\left\{ \begin{matrix} u + v = - 9 \\ uv = - 2 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,\,;\,\,\,\,\left\{\begin{matrix} u + v = - 3 \\ uv = - 4 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\left\{ \begin{matrix}lu + v = - 5 \\ uv = - 6 \\ \end{matrix} \right.\, [/tex]
Chỉ có hệ phương trình đầu và cuối có nghiệm là (0,1),(1,-6) và hoán vị dẫn đến (x,y)=(u+1,v+1) là (1,2),(2,-5)và hoán vị.
:lol:
Ví dụ 5:Tìm bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn :[tex] x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = p [/tex] trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 3
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với [tex] (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) = p [/tex] Từ x+y+z>1,ta có x+y+z=p và [tex] x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz = 1\,\,\,(1) [/tex].Ta có: [tex] (1) \Leftrightarrow (x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2 = 2 [/tex].Không mất tính tổng quát ,chúng ta có thể giả sử [tex] x \ge y \ge z [/tex].Nếu x>y>z,ta có:[tex] x - y \ge 1,y - z \ge 1,x - z \ge 2 \Rightarrow (x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2 \ge 6 > 2 [/tex] .V“ thế nên x=y=z+1 hay x-1=y=z.Số nguyên tố p chỉ ở dạng 3k+1,3k+2.Trong trường hợp 1 nghiệm của pt là [tex] (\frac{{p + 2}}{3},\frac{{p + 2}}{3},\frac{{p + 2}}{3}) [/tex]và các hoán vị .Ở trường hợp 2,nghiệm của pt là [tex] (\frac{{p + 1}}{3},\frac{{p + 1}}{3},\frac{{p - 2}}{3}) [/tex]
Bài tập tự rèn luyện
1)Cho p và q là 2 số nguyên tố.Tìm cặp nghiệm nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình: [tex] \frac{p}{x} + \frac{q}{y} = 1 [/tex]
2)Tìm nghiệm nguyên dương của pt: [tex] x^3 - y^3 = xy + 61 [/tex]
3)Giải pt nghiệm nguyên sau trong đó x là số nguyên tố: [tex] x - y^4 = 4 [/tex]
4)Tìm các số nguyên a,b,c với 1<a<b<c thỏa mãn (a-1)(b-1)(c-1) là ước của abc-1.
5)Tìm các tam giác vuông với độ dài mỗi cạnh là số nguyên sao cho diện tích và chu vi của tam giác đó bằng nhau.
6)Giải hệ phương trình sau với x,y,z,u,v là các số nguyên
[tex] \left\{ \begin{matrix} x + y + z + u + v = xyuv + (x + y)(u + v) \\ xy + z + uv = xy(u + v) + uv(x + y) \\ \end{matrix} \right. [/tex]
mỏi tay quá!
nếu thấy hay thì thank nha!!!!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn