Toán 9 Phương trình nâng cao

[andrew3629]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a+b\geq 0; b+c \geq 0; c+a\geq0[/tex]
CMR phương trình sau có 1 nghiệm:
[tex](a+b+c)x^2-2\sqrt{3(a^3+b^3+b^3)}x+a^2+b^2+c^2=0[/tex]
Giúp mình nha. Cảm ơn.

 

[7 1 2 5]

Cho [tex]a+b\geq 0; b+c \geq 0; c+a\geq0[/tex]
CMR phương trình sau có 1 nghiệm:
[tex](a+b+c)x^2-2\sqrt{3(a^3+b^3+b^3)}x+a^2+b^2+c^2=0[/tex]
Giúp mình nha. Cảm ơn.

Đề phải là có ít nhất 1 nghiệm chứ nhỉ...
Ta có:[tex]\Delta' = 3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 0(theo BĐT Schur bậc 3)[/tex]
Vậy phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm....

 

[ankhongu]

Đề phải là có ít nhất 1 nghiệm chứ nhỉ...
Ta có:[tex]\Delta' = 3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 0(theo BĐT Schur bậc 3)[/tex]
Vậy phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm....

Bạn CM cho mình xem thử BĐT đó được không vậy ?
À mà giờ để ý thì bạn không dùng GT a + b, b + c, c + a lớn hơn hoặc bằng 0 à ?

 

[Kaito Kidㅤ]

Đề phải là có ít nhất 1 nghiệm chứ nhỉ...
Ta có:[tex]\Delta' = 3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 0(theo BĐT Schur bậc 3)[/tex]
Vậy phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm....

nhân bung ra mà tách chứ Schur dùng cho các số dương thôi

 

[andrew3629]

Đề phải là có ít nhất 1 nghiệm chứ nhỉ...
Ta có:[tex]\Delta' = 3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 0(theo BĐT Schur bậc 3)[/tex]
Vậy phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm....

Bất đẳng thức nhân phá ra thì ra [tex]2(a^3+b^3+c^3)-ab^2-ac^2-a^2b-bc^2-a^2c-b^2c[/tex] từ đó đâu chứng minh được lớn hơn 0 ạ
Em nghĩ là chứng minh a, b, c có ít nhất 2 số dương rồi làm như chả làm được

 

[iceghost]

Cho [tex]a+b\geq 0; b+c \geq 0; c+a\geq0[/tex]
CMR phương trình sau có 1 nghiệm:
[tex](a+b+c)x^2-2\sqrt{3(a^3+b^3+c^3)}x+a^2+b^2+c^2=0[/tex]
Giúp mình nha. Cảm ơn.

Trước hết cộng hết các gt lại với nhau ta có $a+b+c \geqslant 0$

Khi $a+b+c = 0$ thì $a+b = 0$ và $b + c = 0$ và $c + a = 0$ nên $a = b = c = 0$. pt $\iff 0 = 0$ (vô số nghiệm)

Khi $a + b + c > 0$ thì mới dùng $\Delta$:

Ta chứng minh $\Delta' = 3(a^3 + b^3 + c^3) - (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0$
$\iff 2a^3+2b^3+2c^3 \geqslant ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c+a)$

Tới đây, với $x + y \geqslant 0$ thì ta có bđt: $(x - y)^2(x+y) \geqslant 0$ hay $x^3 + y^3 \geqslant xy(x+y)$. Bạn áp dụng vào là xong nhé