pt<=> (sinx+cosx)(1-sinx.cosx)=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Đặt t=sinx+cosx[tex]\Rightarrow \left | t \right |\leq \sqrt{2}[/tex]
[tex]pt\Leftrightarrow t^3-3t+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{2},t=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex]
Giải ra thì được 1 nghiệm đẹp, còn nghiệm kia...
Đã tính tổng thử chưa mà ngồi than đây cô
$t = \sqrt{2} \cos(x - \dfrac{\pi}4) = \sqrt{2} \cos y$ (đặt $y = x - \dfrac{\pi}4$ cho "dễ nhìn")
Tới đây suy ra $\cos y = 1$ hoặc $\cos y = \dfrac{\sqrt{3} - 1}2$
$x \in [-10 ; 50]$ thì $y \in [-10 - \dfrac{\pi}4 ; 50 - \dfrac{\pi}4]$
Xét $\cos y = 1$ hay $y = k2\pi$. Giải $-10 - \dfrac{\pi}4 \leqslant k2\pi \leqslant 50 - \dfrac{\pi}4$ ra $-1.7\ldots \leqslant k \leqslant 7.8\ldots$ nên $k = -1, 0, \ldots, 7$. Tổng các nghiệm của $y$ là $2\pi \cdot (-1 + 0 + \ldots + 7) = 54 \pi$
Xét $\cos y = \dfrac{\sqrt{3} - 1}2$ hay $\cos y = \pm a + k2\pi$, với $a = \arccos \dfrac{\sqrt{3} - 1}2$
Bạn để ý dấu +-: Khi cộng lại thì $+a - a = 0$ tức chúng sẽ triệt tiêu phần xấu đi. Triển thôi
Xét nghiệm $-10 - \dfrac{\pi}4 \leqslant a + k2\pi \leqslant 50 - \dfrac{\pi}4$, có $-1.9\ldots \leqslant k \leqslant 7.6\ldots$, suy ra $k = -1, 0, \ldots, 7$
Xét nghiệm $-10 - \dfrac{\pi}4 \leqslant -a + k2\pi \leqslant 50 - \dfrac{\pi}4$, có $-1.5\ldots \leqslant k \leqslant 8.0\ldots$, suy ra $k = -1, 0, \ldots, 7, 8$
Tổng các nghiệm: $$\begin{matrix} & (a -2\pi) & + & (a + 0\pi) & + & \ldots & + & (a + 14\pi) & & \\
+ & (-a - 2\pi) & + & (-a + 0\pi) & + & \ldots & + & (-a + 14\pi) & + & (-a + 16\pi) \\
= & -4\pi & + & 0\pi & + & \ldots & + & 28 \pi & + & (-a + 16\pi) \\
= & -a + 124 \pi \end{matrix}$$
Vậy tổng $19$ nghiệm $y$ của pt là $-a + 178\pi$
Suy ra $S - 19 \cdot \dfrac{\pi}4 = -a + 189 \pi$ (do $y = x - \dfrac{\pi}4$)
$\implies S = -a + \dfrac{775}4 \pi = -\arccos \dfrac{\sqrt{3} - 1}2 + \dfrac{775}4 \pi$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
