Toán 10 Phương trình hàm

[Thảo_UwU]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Find [imath]\mathbb{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/imath] that suits [imath]f(xf(y) + x) = xy + f(x) \forall x,y \in \mathbb{R}[/imath]

 

[7 1 2 5]

Spoiler: English solution

Denote [imath]P(x,y)[/imath] by the assertion of [imath]f(xf(y)+x)=xy+f(x)[/imath]
We infer that [imath]f[/imath] is bijective.
[imath]P(x,0) \Rightarrow f(x(f(0)+1))=f(x) \Rightarrow f(0)=0[/imath]
Since [imath]f[/imath] is bijective, there exists [imath]a \in \mathbb{R}[/imath] such that [imath]f(a)=-1[/imath].
[imath]P(x,a) \Rightarrow f(x)+ax=0 \Rightarrow f(x)=-ax \forall x[/imath]
Plugging in the condition we have [imath]a =\pm -1[/imath]. Therefore, [imath]f(x)=x[/imath] and [imath]f(x)=-x[/imath] are [imath]2[/imath] solutions of the problem.

Ký hiệu [imath]P(x,y)[/imath] là phép thế cặp [imath](x,y)[/imath] vào giả thiết.
Từ giả thiết ta thấy [imath]f[/imath] là song ánh.
[imath]P(x,0) \Rightarrow f(x(f(0)+1))=f(x) \Rightarrow f(0)=0[/imath]
Vì [imath]f[/imath] là song ánh nên tồn tại [imath]a \in \mathbb{R}[/imath] sao cho [imath]f(a)=-1[/imath].
[imath]P(x,a) \Rightarrow f(x)+ax=0 \Rightarrow f(x)=-ax \forall x[/imath]
Thử lại ta thấy [imath]a=\pm 1[/imath] thỏa mãn. Vậy [imath]f(x)=x[/imath] và [imath]f(x)=-x[/imath] là [imath]2[/imath] nghiệm phương trình hàm thỏa mãn.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​

 

[Thảo_UwU]

Spoiler: English solution

Denote [imath]P(x,y)[/imath] by the assertion of [imath]f(xf(y)+x)=xy+f(x)[/imath]
We infer that [imath]f[/imath] is bijective.
[imath]P(x,0) \Rightarrow f(x(f(0)+1))=f(x) \Rightarrow f(0)=0[/imath]
Since [imath]f[/imath] is bijective, there exists [imath]a \in \mathbb{R}[/imath] such that [imath]f(a)=-1[/imath].
[imath]P(x,a) \Rightarrow f(x)+ax=0 \Rightarrow f(x)=-ax \forall x[/imath]
Plugging in the condition we have [imath]a =\pm -1[/imath]. Therefore, [imath]f(x)=x[/imath] and [imath]f(x)=-x[/imath] are [imath]2[/imath] solutions of the problem.

Ký hiệu [imath]P(x,y)[/imath] là phép thế cặp [imath](x,y)[/imath] vào giả thiết.
Từ giả thiết ta thấy [imath]f[/imath] là song ánh.
[imath]P(x,0) \Rightarrow f(x(f(0)+1))=f(x) \Rightarrow f(0)=0[/imath]
Vì [imath]f[/imath] là song ánh nên tồn tại [imath]a \in \mathbb{R}[/imath] sao cho [imath]f(a)=-1[/imath].
[imath]P(x,a) \Rightarrow f(x)+ax=0 \Rightarrow f(x)=-ax \forall x[/imath]
Thử lại ta thấy [imath]a=\pm 1[/imath] thỏa mãn. Vậy [imath]f(x)=x[/imath] và [imath]f(x)=-x[/imath] là [imath]2[/imath] nghiệm phương trình hàm thỏa mãn.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​

7 1 2 5E thấy là ở [imath]2[/imath] cách làm đều có bước biến đổi về [imath]\mathbb{f}(a)=-1[/imath].Liệu đây có phải là "nút thắt" của bài này không a?
Có phải là bài toán pth này đều phải biến đổi về [imath]f(a)=const[/imath] rồi mới có thể biến đổi được tiếp không a?

 

[7 1 2 5]

E thấy là ở [imath]2[/imath] cách làm đều có bước biến đổi về [imath]\mathbb{f}(a)=-1[/imath].Liệu đây có phải là "nút thắt" của bài này không a?
Có phải là bài toán pth này đều phải biến đổi về [imath]f(a)=const[/imath] rồi mới có thể biến đổi được tiếp không a?

Thảo_UwUTrong bài này thì constant phải là [imath]-1[/imath] luôn nhé.
Em để ý là ở [imath]VP[/imath] có sẵn [imath]f(x)[/imath] và [imath]x[/imath] rồi, cho nên chỉ cần chọn [imath]y[/imath] sao cho [imath]VT[/imath] là hằng số nữa là được.
Từ đó thì ta cần tìm [imath]y[/imath] sao cho [imath]f(y)=-1[/imath]

 

[Thảo_UwU]

@7 1 2 5 Cho em hỏi là mình đồng nhất hệ số như nào vậy ạ?
Thay [imath]\begin{cases} x=1\\ y \in R \end{cases}[/imath] vào [imath](1)[/imath] ta được:
[imath]f(f(y)+1) = y + f(1) (c)[/imath]
Thay [imath]y = -f(1)-1[/imath] vào [imath](c)[/imath] suy ra:[imath]f(f(-f(1)-1)+1)=-1[/imath]
Đặt [imath]a = f(-f(1)-1)+1[/imath] ta được [imath]f(a)=-1[/imath]
Chọn [imath]\begin{cases} y=a\\x \in R\end{cases}[/imath] ta được:
[imath]f(xf(a) + x) = xa + f(x) \to xa + f(x) = f(0)[/imath]
Đặt [imath]f(0) = b \to f(x) = -ax + b[/imath].Thế vào [imath](1)[/imath] và đồng nhất hệ số ta được:

Vậy có [imath]2[/imath] hàm số cần tìm là [imath]f(x)=x[/imath] và [imath]f(x) = -x[/imath]

 

[7 1 2 5]

@7 1 2 5 Cho em hỏi là mình đồng nhất hệ số như nào vậy ạ?
Thay [imath]\begin{cases} x=1\\ y \in R \end{cases}[/imath] vào [imath](1)[/imath] ta được:
[imath]f(f(y)+1) = y + f(1) (c)[/imath]
Thay [imath]y = -f(1)-1[/imath] vào [imath](c)[/imath] suy ra:[imath]f(f(-f(1)-1)+1)=-1[/imath]
Đặt [imath]a = f(-f(1)-1)+1[/imath] ta được [imath]f(a)=-1[/imath]
Chọn [imath]\begin{cases} y=a\\x \in R\end{cases}[/imath] ta được:
[imath]f(xf(a) + x) = xa + f(x)[imath] [imath]\overrightarrow xa + f(x) = f(0)[/imath]
Đặt [imath]f(0) = b \overrightarrow f(x) = -ax + b[/imath].Thế vào [imath](1)[/imath] và đồng nhất hệ số ta được:
[imath]\begin{cases} a^2 = 1\\-ab-a=-a \end{cases}[/imath]
[imath]\overrightarrow \begin{cases} \left[\begin{matrix} a=1\\ a=-1\end{matrix}\right. \\ b = 0 \end{cases}[/imath]
[imath]\rightarrow \left[\begin{matrix} f(x) = x\\ f(x) = -x\end{matrix}\right.[/imath]
Vậy có [imath]2[/imath] hàm số cần tìm là [imath]f(x)=x[/imath] và [imath]f(x) = -x[/imath]

Thảo_UwUEm cứ đồng nhất hệ số của [imath]2[/imath] đa thức bậc nhất nhé. Vì nó đúng với vô hạn [imath]x[/imath] nên nó sẽ đồng nhất với nhau luôn.

 

[Thảo_UwU]

Em cứ đồng nhất hệ số của [imath]2[/imath] đa thức bậc nhất nhé. Vì nó đúng với vô hạn [imath]x[/imath] nên nó sẽ đồng nhất với nhau luôn.

7 1 2 5Theo như ở trên nếu thế vào [imath](1)[/imath] thì sẽ ra là:[imath]f(xf(y) + x) = xy - ax + b[/imath] nhưng mà làm sao mà mk ra đc [imath]a^2=1[/imath] và [imath]-ab-a=-a[/imath] vậy ak

 

[7 1 2 5]

Theo như ở trên nếu thế vào [imath](1)[/imath] thì sẽ ra là:[imath]f(xf(y) + x) = xy - ax + b[/imath] nhưng mà làm sao mà mk ra đc [imath]a^2=1[/imath] và [imath]-ab-a=-a[/imath] vậy ak

Thảo_UwUHmm, em thay [imath]f(y)=-ay+b[/imath] và [imath]f(xf(y)+x)=f(x(-ay+b)+x)=f(-axy+(b+1)x)=-a(-axy+(b+1)x)+b[/imath] nhé.
Bởi vì cái kết quả [imath]f(x)=-ax+b[/imath] nó đúng với mọi [imath]x[/imath] mà.