Từ ii) ta suy ra được [imath]f[/imath] là hàm đơn ánh.
Thay [imath]a=1[/imath] vào i) ta được [imath]f(1)=1[/imath].
Xét 1 số nguyên tố [imath]p[/imath] bất kỳ [imath]\Rightarrow f(p) \neq f(1)=1[/imath].
Nếu [imath]f(p)[/imath] là số nguyên tố ta có đpcm.
Nếu [imath]f(p)[/imath] là hợp số thì ta viết [imath]f(p)=mn[/imath] với [imath]m,n>1[/imath].
Khi đó [imath]f(m),f(n) \neq 1[/imath]
Thay [imath]a=p[/imath] vào ii) ta có: [imath]p^2=f(f(p))=f(mn)=f(m)f(n)[/imath]
Vì [imath]f(m),f(n) \neq 1[/imath] nên [imath]f(m)=f(n)=p[/imath]
[imath]\Rightarrow m=n \Rightarrow f(p)=m^2[/imath]
Giả sử [imath]m[/imath] là hợp số thì ta lại phân tích [imath]m=rs[/imath] với [imath]r,s>1[/imath]
[imath]\Rightarrow f(r),f(s) \neq 1[/imath]
Mà [imath]p=f(m)=f(rs)=f(r)f(s)[/imath] nên 1 trong 2 số [imath]f(r),f(s)[/imath] phải bằng 1(mâu thuẫn)
Vậy [imath]m[/imath] là số nguyên tố và [imath]f(p)=m^2[/imath] là bình phương của số nguyên tố.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[HSGQG] Một số bài toán phương trình hàm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
