Toán phương trình bậc hai

[Dương Pi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho phương trình : [tex]x^{2}-mx+m^{2}-5=0[/tex]
Với những giá trị của m mà phương trình có nghiệm,hãy tìm GTLN và GTNN trong tất cả các nghiệm đó

 

[mỳ gói]

Cho phương trình : [tex]x^{2}-mx+m^{2}-5=0[/tex]
Với những giá trị của m mà phương trình có nghiệm,hãy tìm GTLN và GTNN trong tất cả các nghiệm đó

 

[iceghost]

$\Delta = m^2 - 4(m^2-5) = -3m^2 + 20 \geqslant 0 \implies -\dfrac{2\sqrt{15}}3 \leqslant m \leqslant \dfrac{2\sqrt{15}}3$
Khi đó pt có hai nghiệm $x_1 = \dfrac{m + \sqrt{\Delta}}2$ và $x_2 = \dfrac{m - \sqrt{\Delta}}2$. Dễ thấy $x_1 \geqslant x_2$
Khi đó:
* Để pt có nghiệm đạt giá trị lớn nhất $\iff x_1$ lớn nhất $\iff m + \sqrt{\Delta}$ lớn nhất
Có $\sqrt{15 \Delta} = \sqrt{15(-3m^2+20)} \leqslant \dfrac{-3m^2 + 35}2$
Suy ra $\sqrt{15}m + \sqrt{15\Delta} \leqslant \dfrac{-3m^2 + 2\sqrt{15}m + 35}2 = -\dfrac12 (\sqrt{3}m - \sqrt{5})^2 + 20 \leqslant 20$
Từ đó suy ra $x_1 \leqslant \dfrac{2\sqrt{15}}3$. '=' xảy ra khi $m = \dfrac{\sqrt{15}}3$
* Để pt có nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất $\iff x_2$ nhỏ nhất $\iff m - \sqrt{\Delta}$ nhỏ nhất
... ra $\sqrt{15}m - \sqrt{15\Delta} \geqslant \dfrac12 (\sqrt{3} m + \sqrt{5} )^2 - 20 \geqslant -20$
Suy ra $x_2 \geqslant -\dfrac{2\sqrt{15}}3$. '=' xảy ra khi $m = -\dfrac{\sqrt{15}}3$

Vậy...