Toán 12 Phương pháp xử lý bài toán mặt cầu cố định

Thảo luận trong 'Phương pháp tọa độ trong không gian' bắt đầu bởi Sweetdream2202, 28 Tháng năm 2019.

Lượt xem: 884

  1. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,615
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    1. bài toán tham số của mặt cầu cố định tiếp xúc mặt phẳng, đường thẳng.
    * Chú ý: (S) tâm I, bán kính r tiếp xúc (P) [tex]<=>r=d(I,(P))[/tex]
    (S) tâm I, bán kính r tiếp xúc d [tex]<=>r=d(I,d)[/tex]
    - công thức xác định khoảng cách từ điểm tới măt phẳng và đường thẳng.
    [tex]I(x_0;y_0;z_0)[/tex] và [tex](P):Ax+By+Cz+D=0[/tex] [tex]=> d(I,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/tex]
    d qua A, có vector chỉ phương [tex]\overrightarrow{u}[/tex] [tex]=>d(I,d)=\frac{|[\overrightarrow{IA},\overleftarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|}[/tex]
    * mặt cầu tiếp xúc đường thẳng
    [​IMG]
    * mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng
    [​IMG]
    ví dụ 1: [tex]\forall m\in \mathbb{R},(P): (m^2-1)x-2mz-2m+2=0[/tex] luôn tiến xúc một mặt cầu cố định. tìm bán kính của mặt cầu đó.
    1 dạng bài toán tuy không khó nhưng lại quá lạ lẫm với nhiều bạn và không biết cách xử lý như thế nào. và đây là cách giải.
    gọi [tex]I(a;b;c)[/tex] là tâm của mặt cầu có bán kính là r, khi đó ta sẽ có:
    [tex]r=d(I,(P))<=>r=\frac{|(m^2-1)a-2mc-2m+2|}{\sqrt{(m^2-1)^2+(-2m)^2}}<=>r=\frac{|(m^2-1)a-2mc-2m+2|}{m^2+1}[/tex]
    vì mặt cầu cố định nên bán kính của mặt cầu là không đổi, vậy nên ta có:
    [tex](m^2-1)a-2mc-2m+2=k.(m^2+1)<=>am^2+(-2c-2)m+2=km^2+k[/tex]
    đồng nhất hệ số, ta tìm được [tex]\left\{\begin{matrix} k=1\\ a=1\\ c=-1 \end{matrix}\right.[/tex]
    do đó, bán kính của mặt cầu là |k|=1.
    ví dụ 2: cho [tex]A(2;11;-5);\forall m\in R,(P):2mx+(m^2+1)y+(m^2-1)z-10=0[/tex] luôn tiếp xúc với 2 mặt cầu cố định cùng qua A. tìm bán kính của 2 mặt cầu đó.
    khác với ví dụ 1, ví dụ 2 ta cần phải tìm đến 2 mặt cầu. hãy xem lời giải.
    giả sử [tex]I(a;b;c)[/tex] tâm của mặt cầu bán kính r.
    [tex]r=\frac{|2ma+(m^2+1)b+(m^2-1)c-10|}{\sqrt{4m^2+(m^2+1)^2+(m^2-1)^2}}=\frac{|2ma+(m^2+1)b+(m^2-1)c-10|}{\sqrt{2}(m^2+1)}[/tex]
    như ví dụ trên, vì bán kính không đổi nên:
    [tex]2ma+(m^2+1)b+(m^2-1)c-10=k\sqrt{2}(m^2+1) <=>(b+c)m^2+2am+b-c-10=k\sqrt{2}m^2+k\sqrt{2}[/tex]
    đồng nhất hệ số, ta được: [tex]\left\{\begin{matrix} a=0\\ b=k\sqrt{2}+5\\ c=-5 \end{matrix}\right. =>I(0;k\sqrt{2}+5;-5)[/tex]
    khi đó, r=|k|
    mà theo đề, mặt cầu đí qua A nên r=IA
    <=> [tex]|k|=\sqrt{2^2+(k\sqrt{2}-6)^2}<=>k=2\sqrt{2}\vee k=10\sqrt{2}[/tex]
    vậy, bán kính 2 mặt cầu cần tìm là [tex]2\sqrt{2}[/tex] và [tex]10\sqrt{2}[/tex]
    2. 2 mặt cầu tiếp xúc
    [tex](S_1)[/tex] có tâm [tex]I_1[/tex], bán kính [tex]R_1[/tex]
    [tex]S_2[/tex] có tâm [tex]I_2[/tex], bán kính [tex]R_2[/tex]
    2 mặt cầu: + tiếp xúc ngoài nếu: [tex]I_1I_2=R_1+R_2[/tex]
    + tiếp xúc trong nếu: [tex]I_1I_2=|R_1-R_2|[/tex]
    bài toán: cho (S) tâm I, bán kính R. tìm mặt cầu (S') tiếp xúc (S).
    cách giải: + xác định tâm I, bán kính của (S).
    + tìm điểm J cố định sao cho IJ không đổi.
    + mặt cầu cần tìm là (S') có tâm J, bán kính R'.
    ví dụ 3: cho mặt cầu (S): [tex](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=9[/tex], với a, b, c thay đổi thỏa mãn [tex]a^2+(b-1)^2+(c-2)^2=25[/tex]. tìm bán kính mặt cầu cố định tiếp xúc với (S).
    (S) có [tex]I(a;b;c),R=3[/tex]. đặt [tex]J(0;1;2)[/tex]
    theo đề thì [tex]IJ=\sqrt{a^2+(b-1)^2+(c-2)^2}=5[/tex]
    vậy mặt cầu (S') có tâm J(0;1;2).
    ta có 2 trường hợp tiếp xúc: + tiếp xúc ngoài: [tex]IJ=5=3+R'=>R'=2[/tex]
    + tiếp xúc trong: [tex]IJ=5=|3-R|=>R=8[/tex]
    vậy, có 2 mặt cầu tiếp xúc với (S) có bán kính lần lượt là 2 và 8
     
    hip2608 thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY