Toán 10 PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ
​

Có rất nhiều phương pháp để chứng minh một bài bất đẳng thức đối xứng, nên nếu ta chuyển được từ bài toán bất đẳng thức hoán vị về một bài toán bất đẳng thức đối xứng thì việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn rất nhiều. Đó chính là một phương pháp mà mình muốn giới thiệu với các bạn, được gọi là "phương pháp chuyển vị"

Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta cùng đến với một ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$$

Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:$$a.ab+b.\underline{bc}+c.\underline{ca}+abc \leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$$Ta thấy đây là một bất đẳng thức hoán vị với đẳng thức xảy ra tại 2 trường hợp. Điều này chứng tỏ rằng việc đánh giá nó không hề dễ dàng, chỉ một chút đánh giá quá đà cũng có thể đưa đến kết quả không mong muốn. Thông thường mọi người sẽ nghĩ đến việc đưa về đối xứng cho 3 biến, nhưng việc này rất khó thực hiện vì đẳng thức xảy ra tại 2 trường hợp. Do đó ta sẽ nghĩ đến việc đưa về đối xứng cho 2 biến. Muốn làm được điều này các bạn hãy cùng chú ý đến phần gạch ở trên. Nếu ta đổi vị trí cho nhau thì ta sẽ thu được một bất đẳng thức mới chính là một bất đẳng thức đối xứng cho 2 biến $a$ và $c$ :
$$a.ab+b.\underline{ca}+c.\underline{bc}+abc \leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$$Vì vậy nếu ta có được đánh giá $a.ab+b.\underline{bc}+c.\underline{ca}+abc \leq a.ab+b.\underline{ca}+c.\underline{bc}+abc$ thì đó là một điều tuyệt vời. Hiển nhiên điều đó tương đương $c(a-b)(b-c) \ge 0$ và ta hoàn toàn có thể đạt được điều này bằng cách giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Đến đây ta có thể trình bày bài toán như sau:
Không mất tổng quát , giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Khi đó ta có:
$$a.ab+b.bc+c.ca+abc \leq a.ab+b.ca+c.bc+abc =b(a+c)^2=4.b.\left (\dfrac{a+c}{2} \right )^2\leq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$$
Bất đẳng thức được chứng minh xong.

Đây là một ví dụ quen thuộc. Nếu bạn nào tinh ý thì việc đánh giá $a.ab+b.bc+c.ca+abc \leq a.ab+b.ca+c.bc+abc$ ở trên chính là việc sử dụng bất đẳng thức sắp xếp lại. Tuy nhiên ý tưởng chuyển vị ở đây hoàn toàn độc lập với bất đẳng thức sắp xếp lại. Chúng ta cùng đi tiếp đến ví dụ tiếp theo để thấy rõ được điều đó.

Ví dụ 2: Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{x+y^2}+\sqrt{y+z^2}+\sqrt{z+x^2}\geq 2$$
Rõ ràng , việc sử dụng bất đẳng thức sắp xếp lại là rất khó, nhưng phương pháp chuyển vị như trên ta vẫn có thể áp dụng được. Và với những cách phân tích khác nhau ta lại có những phép chuyển vị khác nhau . Chẳng hạn ở ví dụ này sẽ có 2 cách chuyển vị
Ta viết lại bất đẳng thức như sau:
$$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+yz+yx}+\sqrt{z^2+x^2+xz+yz}\geq 2$$
Lời giải 1 : $$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+yz+\underline{yx}}+\sqrt{z^2+x^2+xz+\underline{yz}}\geq 2$$Ta sẽ chuyển nó về dạng đối xứng , chẳng hạn cho $y$ và $z$.
Để ý 2 biểu thức $xy,yz$ được gạch chân ở trên , nếu ta chuyển vị 2 biểu thức này thì sẽ thu được bất đẳng thức mới:
$$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+yz+yz}+\sqrt{z^2+x^2+xz+xy}\geq 2$$Và nó chính là bất đẳng thức đối xứng cho $y,z$
Với ý tưởng như vậy , chúng ta cần có :
$$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+yz+yx}+\sqrt{z^2+x^2+xz+yz}\geq \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+yz+yz}+\sqrt{z^2+x^2+xz+xy}$$Thực hiện bình phương rồi thu gọn ta sẽ được:
$$y(x-y)(x-z)(x+y+z) \ge 0$$Điều này có thể đạt được bằng cách giả sử $x$ là số lớn nhất hoặc nhỏ nhất . Với phân tích này , ta đi đến lời giải bài toán như sau:
Không mất tổng quát giả sử $x$ là số lớn nhất :
Khi đó ta có :
$$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+yz+yx}+\sqrt{z^2+x^2+xz+yz}\geq \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+yz+yz}+\sqrt{z^2+x^2+xz+xy}$$nên bất đẳng thức được đưa về:
$$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{z^2+x^2+xz+xy}+y+z\geq 2=2(x+y+z)$$$$\Leftrightarrow \sqrt{x+y^2}+\sqrt{z^2+x}\geq 2x+y+z$$Áp dụng bất đẳng thức $Minkowski$ ta có:
$$\sqrt{x+y^2}+\sqrt{z^2+x}\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{x})^2+(y+z)^2}=\sqrt{2x(x+y+z)+(y+z)^2}=2x+y+z$$
Lời giải 2 :
Nếu các bạn không thích phép chuyển vị như trên, chúng ta có thể thử chọn phép chuyển vị kiểu khác như sau:
$$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{\underline{y^2}+z^2+yz+xy}+\sqrt{z^2+\underline{x^2}+xz+yz}\geq 2$$Nếu ta thực hiện chuyển vị cho 2 biểu thức trên khi đó ta được một bất đẳng thực đối xứng cho $x$ và $z$ là :
$$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{\underline{y^2}+z^2+yz+xy}+\sqrt{z^2+\underline{x^2}+xz+yz} \geq \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{\underline{x^2}+z^2+yz+xy}+\sqrt{z^2+\underline{y^2}+xz+yz}$$Hay là $$x(x^2-y^2)(y-z) \ge 0$$Điều này có thể đạt được nếu ta giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$:
Khi đó ta chỉ cần chứng minh :
$$\sqrt{x+y^2}+\sqrt{z+y^2}+\sqrt{x+z-2xz} \ge 2$$Tới đây các bạn có thể dồn về $y$

Hy vọng qua bài viết này có thể giúp các bạn giải quyết được nhiều bài toán hơn ^^
Cảm ơn các bạn đã đọc


Tài liệu tham khảo:
-Phương pháp chuyển vị - Võ Quốc Bá Cẩn.