Phân tích đa thức thành nhân

[hhdanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phân tích đa thức thành nhân tử

Chắc hản trong quá trình học tập tại THCS, đặc biệt là lớp 8, không ai không biết đến một dạng toán khá khó và phức tạp: phân tích đa thức thành nhân tử.

[COLOR=]1. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử?[/COLOR]
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

[COLOR=]2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.[/COLOR]
a) Các phương pháp cơ bản
_ Phương pháp đặt nhân tử chung
Đây là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản nhất và cũng tương đối dễ. Phương pháp này chủ yếu dựa vào phép phân phối.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử [TEX] {a}^{2} - a [/TEX]
Đặt a ra ngoài, ta được: [TEX]{a}^{2}[/TEX] - a = a(a-1)
_ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp này ta sẽ sử dụng tất cả các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử. Do đó, bạn cần phải nằm lòng hằng đẳng thức mới dễ dàng làm được.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: [TEX]{x}^{4} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2}[/TEX]
Ta có: [TEX] {x}^{4} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2} = ({{x}^{2}})^{2} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2} [/TEX]
Đến đây thì đã xuất hiện hằng đăng thức [TEX]({{x}^{2}})^{2} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2} [/TEX] có dạng [TEX]{A}^{2} + 2AB + {B}^{2} = {(A + B)}^{2} [/TEX] với:
A = [TEX] {x}^{2} [/TEX]
B = y
Vậy, ta chỉ cần thay vào là xong: [TEX]{x}^{4} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2} = {({x}^{2} + y)}^{2}[/TEX]
_ Phương pháp nhóm các hạng tử
Đây cũng là phương pháp tương đối dễ, các bạn chỉ cần thay đổi vị trí các hạng rồi nhóm chúng lại, thay đổi dấu tùy theo đề bài,... sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: xz + yz - 5(x+y)
Ta có: xz + yz - 5(x+y) = (xz + yz) - 5(x+y)
= z(x+y) - 5(x+y)
= (x + y)(z - 5)
b) Phương pháp tách cùng một hạng tử
Ở phương pháp này, các bạn cần phải vận dụng tách hạng tử hợp lí để dễ làm hơn.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: [TEX] {x}^{2} + 5x + 6 [/TEX]
Phân tích 5x = 3x + 2x
Ta có: [TEX] {x}^{2} + 5x + 6[/TEX] = [TEX] {x}^{2} + 3x + 2x + 6[/TEX]
= [TEX] ({x}^{2} + 3x) + (2x + 6)[/TEX]
= x(x + 3) + 2(x + 3)
= (x + 3)(x + 2)
c) Phương pháp thêm bớt hạng tử
Ta chỉ cần thêm hoặc bớt một vài hạng tử vào đa thức sao cho giá trị sau khi thay vẫn bằng giá trị lúc đầu của chính đa thức đó.
VD: Phân tích đa thức sau thánh nhân tử: {x}^{4} + 4
Ta có: [TEX]{x}^{4} + 4 [/TEX] = [TEX] {x}^{4} + 4 + {4x}^{2} - {4x}^{2} [/TEX]
= [TEX] {({x}^{2} + 2)}^{2} - ({2x})^{2} [/TEX]
= [TEX]({x}^{2} + 2x + 2)({x}^{2} - 2x + 2) [/TEX]
d) Phương pháp đặt ẩn phụ (hay còn gọi là đổi biến số)
_ Phương pháp này nói chung cũng rất phức tạp, pải nắm rõ mới có thể làm được.
Phương pháp này có rất nhiều dạng nhưng mình sẽ hướng dẫn các bạn dạng 1 nhé.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = [TEX] {x}^{4} + {7x}^{2} + 6 [/TEX] . Đây là bài toán có dạng: P(x) = {ay}^{2} + by + c(dạng 1).
Ta đặt y = [TEX] {x}^{2} [/TEX] khi đó P(x) trở thành:
P(y) = [TEX] {y}^{2} [/TEX] + 7y + 6.
Ta tiếp tục phân tích 7y = 6y + y rồi tiếp tục làm.
e) Phương pháp hệ số bất định
Cái này khá phức tạp, không thể một sớm một chiều mà học được. Cái này mình nghĩ các bạn nên mua sách nâng cao về làm thêm vì dạng này khá khó.
Ngoài ra, còn có các phương pháp như: Tìm nghiệm của đa thức, Quy tắc Hót-nơ (Horner),...
Đây chỉ là kinh nghiệm của riêng mình nên nếu có gì sai sót thì bỏ qua cho mình nha.



Phương pháp cuối cùng là phối hợp nhiều phương pháp
member cấm dùng màu đỏ

 

[hhdanh]

Bài tập vận dụng:
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) [TEX]{2a}^{3}[/TEX] - [TEX]{2ab}^{2}[/TEX]
b) [TEX]{a}^{5} + {a}^{3} - {a}^{2} - 1[/TEX]
c) [TEX]{5x}^{2} + 3 ({x+y})^{2} - {5y}^{2}[/TEX]

 

[letrang3003]

biết làm mỗi ý a @.@
a. [TEX]2a(a^2-b^2=2a(a+b)(a-b)[/TEX]
@ chủ píc: mấy cái này có trong sách hết mừ đại ca :-j
À~ sửa luôn lại tex đi =,=

 

[0915549009]

Chắc hản trong quá trình học tập tại THCS, đặc biệt là lớp 8, không ai không biết đến một dạng toán khá khó và phức tạp: phân tích đa thức thành nhân tử.

1. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử?
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
a) Các phương pháp cơ bản
_ Phương pháp đặt nhân tử chung
Đây là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản nhất và cũng tương đối dễ. Phương pháp này chủ yếu dựa vào phép phân phối.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử {a}^{2} - a
Đặt a ra ngoài, ta được: {a}^{2} - a = a(a-1)
_ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp này ta sẽ sử dụng tất cả các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử. Do đó, bạn cần phải nằm lòng hằng đẳng thức mới dễ dàng làm được.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: {x}^{4} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2}
Ta có: {x}^{4} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2} = ({{x}^{2}})^{2} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2}
Đến đây thì đã xuất hiện hằng đăng thức ({{x}^{2}})^{2} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2} có dạng {A}^{2} + 2AB + {B}^{2} = {(A + B)}^{2} với:
A = {x}^{2}
B = y
Vậy, ta chỉ cần thay vào là xong: {x}^{4} + 2{x}^{2}y+ {y}^{2} = {({x}^{2} + y)}^{2}
_ Phương pháp nhóm các hạng tử
Đây cũng là phương pháp tương đối dễ, các bạn chỉ cần thay đổi vị trí các hạng rồi nhóm chúng lại, thay đổi dấu tùy theo đề bài,... sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: xz + yz - 5(x+y)
Ta có: xz + yz - 5(x+y) = (xz + yz) - 5(x+y)
= z(x+y) - 5(x+y)
= (x + y)(z - 5)
b) Phương pháp tách cùng một hạng tử
Ở phương pháp này, các bạn cần phải vận dụng tách hạng tử hợp lí để dễ làm hơn.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: {x}^{2} + 5x + 6
Phân tích 5x = 3x + 2x
Ta có: {x}^{2} + 5x + 6 = {x}^{2} + 3x + 2x + 6
= ({x}^{2} + 3x) + (2x + 6)
= x(x + 3) + 2(x + 3)
= (x + 3)(x + 2)
c) Phương pháp thêm bớt hạng tử
Ta chỉ cần thêm hoặc bớt một vài hạng tử vào đa thức sao cho giá trị sau khi thay vẫn bằng giá trị lúc đầu của chính đa thức đó.
VD: Phân tích đa thức sau thánh nhân tử: {x}^{4} + 4
Ta có: {x}^{4} + 4 = {x}^{4} + 4 + {4x}^{2} - {4x}^{2}
= {({x}^{2} + 2)}^{2} - ({2x})^{2}
= ({x}^{2} + 2x + 2)({x}^{2} - 2x + 2)
d) Phương pháp đặt ẩn phụ (hay còn gọi là đổi biến số)
_ Phương pháp này nói chung cũng rất phức tạp, pải nắm rõ mới có thể làm được.
Phương pháp này có rất nhiều dạng nhưng mình sẽ hướng dẫn các bạn dạng 1 nhé.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = {x}^{4} + {7x}^{2} + 6. Đây là bài toán có dạng: P(x) = {ay}^{2} + by + c(dạng 1).
Ta đặt y = {x}^{2} khi đó P(x) trở thành:
P(y) = {y}^{2} + 7y + 6.
Ta tiếp tục phân tích 7y = 6y + y rồi tiếp tục làm.
e) Phương pháp hệ số bất định
Cái này khá phức tạp, không thể một sớm một chiều mà học được. Cái này mình nghĩ các bạn nên mua sách nâng cao về làm thêm vì dạng này khá khó.
Ngoài ra, còn có các phương pháp như: Tìm nghiệm của đa thức, Quy tắc Hót-nơ (Horner),...
Đây chỉ là kinh nghiệm của riêng mình nên nếu có gì sai sót thì bỏ qua cho mình nha.

Pic này có ND gần giống pic Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử của trydan rồi, có bài nào thỳ bạn post bài vào đây nhaz http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=109108

 

[0915549009]

Bài tập vận dụng:
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) [TEX]{2a}^{3}[/TEX] - [TEX]{2ab}^{2}[/TEX]
b) [TEX]{a}^{5} + {a}^{3} - {a}^{2} - 1[/TEX]
c) [TEX]{5x}^{2} + 3 ({x+y})^{2} - {5y}^{2}[/TEX]

[TEX]{2a}^{3}-{2ab}^{2}=2a(2a^2-b^2)=2a(a-b)(a+b)[/TEX]
[TEX]{a}^{5} + {a}^{3} - {a}^{2} - 1=a^3(a^2+1)-(a^2+1)=(a^3-1)(a^2+1)=(a-1)(a^2+a+1)(a^2+1)[/TEX]
[TEX]{5x}^{2} + 3 ({x+y})^{2} - {5y}^{2}=5(x-y)(x+y)+3(x+y)^2=(x+y)(5x-5y+3x+3y)=(x+y)(8x-2y)=2(x+y)(4x-y)[/TEX]

 

[letrang3003]

Hỏi chấm ý a :-/
Có dấu ngoặc hay cái gì đâu nhỉ ?

 

[hhdanh]

biết làm mỗi ý a @.@
a. [TEX]2a(a^2-b^2=2a(a+b)(a-b)[/TEX]
@ chủ píc: mấy cái này có trong sách hết mừ đại ca :-j
À~ sửa luôn lại tex đi =,=

Bạn làm bài a) đúng rồi đó, bạn làm tiếp các câu còn lại xem.

 

[hhdanh]

Mở đầu là 3 bài khá dễ, đi tiếp nào. Mọi người ủng hộ nhé, ai có bài toán nào hay thì post lên cho mọi người xem.

Trước tiên, mình xin post thêm 2 bài nữa nhé.

Bài 1. A = [TEX]{x}^{3}{({x}^{2}-7)}^{2}-36x[/TEX]. Chứng minh rằng nễu x là số nguyên thì A chia hết cho 7.

Bài 2. B = [TEX]{x}^{4} - {6x}^{3} + {27x}^{2} - 54x + 32[/TEX]. Chứng minh rằng nếu x là số nguyên thì B là một số chẵn

= = = = = = = = = = = = =

 

[duynhan1]

Bài 1. A = [TEX]{x}^{3}{({x}^{2}-7)}^{2}-36x[/TEX]. Chứng minh rằng nễu x là số nguyên thì A chia hết cho 7.

Bài 2. B = [TEX]{x}^{4} - {6x}^{3} + {27x}^{2} - 54x + 32[/TEX]. Chứng minh rằng nếu x là số nguyên thì B là một số chẵn

= = = = = = = = = = = = =

[TEX]x^2-7 \equiv x^2 (mod 7)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2-7)^2 \equiv x^4 (mod 7)[/TEX]

[TEX]{x}^{3}{({x}^{2}-7)}^{2}-36x \equiv x^7 - 36 x (mod 7) [/TEX]

[TEX] \Rightarrow {x}^{3}{({x}^{2}-7)}^{2}-36x \equiv x^7 - x (mod 7) [/TEX]

Ta có :
[TEX]x^7 - x = x(x^6- 1) =x(x^6-1) [/TEX]
Ta có bảng số dư

[TEX]x[/TEX] |0| [TEX]\pm1[/TEX] | [TEX]\pm 2 [/TEX] | [TEX]\pm 3[/TEX]
[ [TEX]x^6[/TEX] | [TEX]0[/TEX] | [TEX]1[/TEX] | [TEX]1[/TEX] | [TEX]1[/TEX]
x(x^6-1) | 0|0|0|0

[TEX]=> dpcm[/TEX]

[TEX]B= {x}^{4} - {6x}^{3} + {27x}^{2} - 54x + 32 \\ = x^2(x^2+27 ) -6x^3 -54x +32 [/TEX]

===>[TEX] B[/TEX] là số chẵn

 

[phananthai4]

giúp mình với:Tìm a;b để:ax^4+bx^3+1 chia hết cho (x-1)^2
cảm ơn nhìu nha!

 

[nguyenquynh95]

ai làm dùm bài x^2 + 12x + 36 đi gấp........................................................................................

 

[obama_pro9x]

ai làm dùm bài x^2 + 12x + 36 đi gấp........................................................................................

phân tích thành nhân tử đúng k?
x^2 + 12x + 36=(x+6)^2=> hằng đẳng thức mà bạn

 

[nguyenquynh95]

đang học lớp 10 giờ làm lớp 8 k biết làm, bạn làm ra cách giải dùm luôn đi mình giảng cho nhỏ bạn

 

[obama_pro9x]

đang học lớp 10 giờ làm lớp 8 k biết làm, bạn làm ra cách giải dùm luôn đi mình giảng cho nhỏ bạn

axax.tui cũng đang học lớp 10 đây.nhở bạn học lớp mấy oy.kia là hằng đẳng thức mà
x^2+12x+36=x^2+6x+6x+36=x.(x+6)+6.(x+6)=(x+6).(x+6)=(x+6)^2

 

[hongquangbh]

cách giải dài dòng:
ngắn gọn lại di bạn X^2 + 2*6x + 36 = ( x+ 6) ^2

 

[hhdanh]

Đây là bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ta có: [TEX]{x}^{2} + 12x + 36[/TEX] = [TEX]{x}^{2} + 2.x.6 + {6}^{2}[/TEX]
= [TEX]{(x+6)}^{2}[/TEX]

 

[tronganh89]

cui wa.toan may bai "ghe"
.hang dang thuc.khong can phai suy nghi gi nhieu.

 

[hhdanh]

Ai có bài nào hay thì cứ post lên nhé. Mình xin đưa thêm 2 bài nữa nè.

Tìm x:
a) x(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 1)
b) 9x - [TEX]{4x}^{2}[/TEX] - 2 = 0

 

[ngocxit8bebe]

a) x(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 1)
b) 9x - - 2 = 0

giải:
a)x(2x-3)=(2x-3)(2x+1)
\Leftrightarrow x(2x-3)-(2x-3)(2x+1)=0
\Leftrightarrow (-x-1)(2x-3)=0
\Leftrightarrow -x-1=0 (ko có giá trị nào của x thỏa mãn), 2x-3=0 ,
\Leftrightarrow x=3/2

b) 9x - 4x^2 -2=0
\Leftrightarrow - 4x^2 + x + 8x - 2 =0
\Leftrightarrow x(1-4x) - 2(1 - 4x)=0
\Leftrightarrow (x-2)(1-4x)=0
\Leftrightarrow x= 2 , x=1/4

 

[phananthai4]

giúp mình với:Tìm a;b để:ax^4+bx^3+1 chia hết cho (x-1)^2
cảm ơn nhìu nha!