[tex]a^3+b^3+c^3-3abc[/tex]
=[tex]a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3-3ab(a+b)-3abc [/tex]
=[tex] (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c) [/tex]
=[tex](a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)] [/tex]
=[tex] (a+b+c) [ a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab] [/tex]
=[tex] (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) [/tex]
Vì a,b, c dương (a,b,c>0) nên tổng a+b+c>0
Đa thức trên bằng 0
<=>[tex] a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0[/tex]
<=>[tex]2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0 [/tex]
<=>[tex]a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0 [/tex]
<=>[tex](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0[/tex]
Vì các số [tex] (a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2 [/tex] đều là số không âm (tức là số dương hoặc bằng 0) mà tổng của chúng bằng 0 nên các số đó đều bằng 0
a-b=0
b-c=0
c-a=0
a=b=c