Toán 10 Phần nguyên

[lò lựu đạn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:
a) [imath]\lfloor 2x \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor x+\dfrac{1}{2} \rfloor[/imath]
b) [imath]\lfloor 3x \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor x+\dfrac{1}{3} \rfloor+\lfloor x+\dfrac{2}{3} \rfloor[/imath]
c) Với số nguyên dương [imath]n[/imath] thì hàm số [math]f(x)=\lfloor x \rfloor+\lfloor x+\dfrac{1}{n} \rfloor + ... + \lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \rfloor - \lfloor nx \rfloor[/math] tuần hoàn theo chu kỳ [imath]\dfrac{1}{n}[/imath]
d) [imath]f(x)=0 \forall x \in \mathbb{R}[/imath]
Mọi người giúp em 4 câu này với ạ . Em cảm ơn ạ .

 

[7 1 2 5]

a) Ta thấy [imath]\lfloor x \rfloor=x-\lbrace x \rbrace[/imath].
Xét các trường hợp:
+ [imath]\lbrace x \rbrace \in [0,\dfrac{1}{2})[/imath]. Khi đó [imath]\lfloor 2x \rfloor=\lfloor 2 \lfloor x \rfloor+2\lbrace x \rbrace \rfloor=2\lfloor x \rfloor[/imath]
và [imath]\lfloor x+\dfrac{1}{2} \rfloor=\lfloor x \rfloor[/imath]. Từ đó ta có đpcm.
+ [imath]\lbrace x \rbrace \in [\dfrac{1}{2},1)[/imath]. Khi đó [imath]\lfloor 2x \rfloor=\lfloor 2 \lfloor x \rfloor+2\lbrace x \rbrace \rfloor=2\lfloor x \rfloor+1[/imath]
và [imath]\lfloor x+\dfrac{1}{2} \rfloor=\lfloor x \rfloor+1[/imath]. Từ đó ta có đpcm.
b) Tương tự câu a) với việc xét [imath]\lbrace x \rbrace \in [0,\dfrac{1}{3}), \lbrace x \rbrace \in [\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3})[/imath] và [imath]\lbrace x \rbrace \in [\dfrac{2}{3},1)[/imath]
c) Xét [imath]f(x+\dfrac{1}{n})=\lfloor x+\dfrac{1}{n} \rfloor +\lfloor x+\dfrac{2}{n} \rfloor +...+\lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \rfloor+\lfloor x+1 \rfloor-\lfloor nx+1 \rfloor[/imath]
[imath]=\lfloor x \rfloor+\lfloor x+\dfrac{1}{n} \rfloor+...+\lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \rfloor+1-(\lfloor nx \rfloor+1)=f(x)[/imath]
Từ đó [imath]f(x)[/imath] tuần hoàn với chu kỳ [imath]\dfrac{1}{n}[/imath]
d) Theo nhận xét ở c) thì ta chỉ cần chứng minh [imath]f(x)=0[/imath] với mọi [imath]x \in [0,\dfrac{1}{n})[/imath] là được.
Thật vậy, vì [imath]x \in [0,\dfrac{1}{n})[/imath] nên [imath]\lfloor x \rfloor=\lfloor x+\dfrac{1}{n} \rfloor=...=\lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \rfloor=\lfloor nx \rfloor =0[/imath] nên [imath]f(x)=0 \forall x \in [0,\dfrac{1}{n})[/imath]
Vậy ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG

 

[lò lựu đạn]

a) Ta thấy [imath]\lfloor x \rfloor=x-\lbrace x \rbrace[/imath].
Xét các trường hợp:
+ [imath]\lbrace x \rbrace \in [0,\dfrac{1}{2})[/imath]. Khi đó [imath]\lfloor 2x \rfloor=\lfloor 2 \lfloor x \rfloor+2\lbrace x \rbrace \rfloor=2\lfloor x \rfloor[/imath]
và [imath]\lfloor x+\dfrac{1}{2} \rfloor=\lfloor x \rfloor[/imath]. Từ đó ta có đpcm.
+ [imath]\lbrace x \rbrace \in [\dfrac{1}{2},1)[/imath]. Khi đó [imath]\lfloor 2x \rfloor=\lfloor 2 \lfloor x \rfloor+2\lbrace x \rbrace \rfloor=2\lfloor x \rfloor+1[/imath]
và [imath]\lfloor x+\dfrac{1}{2} \rfloor=\lfloor x \rfloor+1[/imath]. Từ đó ta có đpcm.
b) Tương tự câu a) với việc xét [imath]\lbrace x \rbrace \in [0,\dfrac{1}{3}), \lbrace x \rbrace \in [\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3})[/imath] và [imath]\lbrace x \rbrace \in [\dfrac{2}{3},1)[/imath]
c) Xét [imath]f(x+\dfrac{1}{n})=\lfloor x+\dfrac{1}{n} \rfloor +\lfloor x+\dfrac{2}{n} \rfloor +...+\lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \rfloor+\lfloor x+1 \rfloor-\lfloor nx+1 \rfloor[/imath]
[imath]=\lfloor x \rfloor+\lfloor x+\dfrac{1}{n} \rfloor+...+\lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \rfloor+1-(\lfloor nx \rfloor+1)=f(x)[/imath]
Từ đó [imath]f(x)[/imath] tuần hoàn với chu kỳ [imath]\dfrac{1}{n}[/imath]
d) Theo nhận xét ở c) thì ta chỉ cần chứng minh [imath]f(x)=0[/imath] với mọi [imath]x \in [0,\dfrac{1}{n})[/imath] là được.
Thật vậy, vì [imath]x \in [0,\dfrac{1}{n})[/imath] nên [imath]\lfloor x \rfloor=\lfloor x+\dfrac{1}{n} \rfloor=...=\lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \rfloor=\lfloor nx \rfloor =0[/imath] nên [imath]f(x)=0 \forall x \in [0,\dfrac{1}{n})[/imath]
Vậy ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG

7 1 2 5dạ em chưa hiểu câu d lắm ạ , f(x) tuần hoàn theo chu kỳ 1/n thì sao mình phải xét x thuộc [0;1/n) ạ

 

[7 1 2 5]

dạ em chưa hiểu câu d lắm ạ , f(x) tuần hoàn theo chu kỳ 1/n thì sao mình phải xét x thuộc [0;1/n) ạ

lò lựu đạnNếu như [imath]f(x)=0[/imath] với [imath]x \in [0,\dfrac{1}{n})[/imath] thì vì [imath]f[/imath] tuần hoàn chu kỳ [imath]\dfrac{1}{n}[/imath] thì [imath]f(x)=0[/imath] với [imath]x \in [\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n})[/imath]
Cứ tiếp tục làm như vậy thì ta có [imath]f(x)=0 \forall x \in \mathbb{R}[/imath]

Đây cũng là 1 tính chất cơ bản của hàm tuần hoàn nhé. Nếu [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] và tuần hoàn chu kỳ [imath]T[/imath] thì để khảo sát hàm [imath]f(x)[/imath] trên tập số thực thì ta chỉ cần khảo sát trên [imath]1[/imath] đoạn có độ dài bằng [imath]T[/imath].