
Gọi các điểm như hình vẽ.
Mình đánh số $1$ là $\triangle{ABD}$, số $2$ là $\triangle{ACD}$, còn lại mặc định là $\triangle{ABC}$.
Ta có: $S = S_1 + S_2$ hay $pr = p_1 r_1 + p_2 r_2$
$\implies p_1 + p_2 = p \cdot \dfrac{r}{r_1} \, (\star)$, do $r_1 = r_2$
Nhìn hình vẽ ta thấy: $\dfrac{r}{r_1} = \dfrac{BF}{BE} = \dfrac{p - b}{p_1 - AD}$
Tương tự: $\dfrac{r}{r_2} = \dfrac{p - c}{p_2 - AD}$
Do $r_1 = r_2$ nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $\dfrac{r}{r_1} = \dfrac{2p - b - c}{p_1 + p_2 - 2AD}$
Để ý thêm một tính chất: $p_1 + p_2 - p = AD$ nên ta có: $\dfrac{r}{r_1} = \dfrac{a}{p - AD}$
Thay lên $(\star)$: $p + AD = p \cdot \dfrac{a}{p - AD}$
Suy ra $AD = \sqrt{p(p - a)}$
Nếu có thắc mắc gì thì bạn có thể trả lời bên dưới nhé

Chúc bạn học tốt!