Toán [Ôn thi THPTQG] Số phức

[Alice_www]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xin chào mọi người, hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về số phức nhé, chắc hẳn các bạn cũng đã biết [imath]x^2=-1[/imath] là vô nghiệm, nhưng khi con người ta gặp giới hạn thì ta sẽ tìm cách phá bỏ nó. Do đó, số phức ra đời . Hãy tìm hiểu cùng mình nhé

SỐ PHỨC​

I. Các kiến thức cơ bản

1. Khái niệm số phức

- Tập hợp số phức [imath]\mathbb{C}[/imath].

- Số phức (dạng đại số) [imath]z=a+bi\: (a;b\in \mathbb{R}[/imath] và [imath]i[/imath] gọi là đơn vị ảo, [imath]i^2=-1[/imath].

Cho hai số phức [imath]z=a+b i[/imath] và [imath]z^{\prime}=a^{\prime}+b^{\prime} i[/imath]. Khi đó:
[imath]z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=a^{\prime} \\b=b^{\prime} .\end{array}\right.[/imath].

- [imath]z[/imath] là số thực [imath]\Leftrightarrow[/imath] phần ảo của [imath]z[/imath] bằng 0 [imath](b=0)[/imath].

- [imath]z[/imath] là số ảo [imath]\Leftrightarrow[/imath] phần thực của [imath]z[/imath] bằng 0 [imath](a=0)[/imath].

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Biểu diễn hình học

Trong mặt phẳng [imath]Oxy[/imath] ([imath]Oy[/imath] là trục ảo, [imath]Ox[/imath] là trục thực), mỗi số phức [imath]z=a+bi\: (a;b\in \mathbb{R})[/imath] được biểu diễn bởi điểm [imath]M(a,b)[/imath]. Ngược lại mỗi điểm [imath]M(a;b)[/imath] biểu diễn một số phức là [imath]z=a+bi.[/imath] Ta còn viết là [imath]M(a+bi)[/imath] hay [imath]M(z)[/imath].

3. Các phép toán trên số phức

Cho hai số phức [imath]z=a+b i[/imath] và [imath]z^{\prime}=a^{\prime}+b^{\prime} i[/imath]. ([imath]a;b;a';b'\in \mathbb{R})[/imath] và [imath]k\in \mathbb{R}[/imath]

a) Cộng, trừ hai số phức

[imath]z+z^{\prime}=\left(a+a^{\prime}\right)+\left(b+b^{\prime}\right)[/imath] i.

[imath]z-z^{\prime}=\left(a-a^{\prime}\right)+\left(b-b^{\prime}\right) i[/imath].

b) Nhân hai số phức

[imath]z z^{\prime}=\left(a a^{\prime}-b b^{\prime}\right)+\left(a b^{\prime}+a^{\prime} b\right) i[/imath].

[imath]kz=k.(a+bi)=ka+kbi[/imath]

c) Số phức liên hợp

Số phức liên hợp với [imath]z[/imath] là [imath]\overline{z}=a-bi.[/imath]

d) Môđun của số phức

Độ dài [imath]\overrightarrow{OM}[/imath] được gọi là modun của số phức [imath]z[/imath] và kí hiệu là [imath]|z|[/imath]. Vậy [imath]|z|=|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/imath].

e) Chia hai số phức

Nghịch đảo của số phức [imath]z\ne 0[/imath] là:
[math]z^{-1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-b i) \quad\left(=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}\right)[/math]
Thương của hai số phức [imath]z[/imath] và [imath]z^{\prime} \neq 0[/imath] là:

[math]\dfrac{z}{z'}=z.z'^{-1}=(a+bi)\left(\dfrac{a'}{a'^2+b'^2}-\dfrac{b'}{a'^2+b'^2}i\right)=\dfrac{aa'+bb'}{a'^2+b'^2}-\dfrac{ab'-a'b}{a'^2+b'^2}i[/math]
II. Phương trình bậc hai với hệ số thực

1. Căn bậc hai của số thực âm

+ Cho số [imath]z[/imath], nếu có số phức [imath]z_1[/imath] sao cho [imath]z_1^2=z[/imath] thì ta nói [imath]z_1[/imath] là một căn bậc hai của [imath]z[/imath].

+ Mọi số phức [imath]z\ne 0[/imath] đều có hai căn bậc hai.

* Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức

+ Trường hợp [imath]w[/imath] là số thực:

Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

Số thực [imath]a>0[/imath] có đúng hai căn bậc hai là: [imath]\pm \sqrt{a}[/imath]

Số thực [imath]a>0[/imath] có đúng hai căn bậc hai là: [imath]\pm i\sqrt{-a}[/imath]

+ Trường hợp [imath]w=a+bi[/imath]

Cách 1: [imath]z=x+yi\: (x,y\in \mathbb{R})[/imath] là CBH của số phức [imath]w=a+bi[/imath]

[imath]\Leftrightarrow (x+yi)^2=a+bi\Leftrightarrow x^2-y^2+2xy=a+bi\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2=a\\2xy=b\end{matrix}\right.[/imath]

Mỗi cặp số thực [imath](x;y)[/imath] nghiệm đúng hpt trên ta có một CBH [imath]x+yi[/imath] của số phức đã cho.

Cách 2: Biến đổi số phức đã cho về dạng: [imath]w=a+bi=(x+yi)^2[/imath]

Ta có CBH của số phức đã cho là [imath]\pm (a+bi)[/imath]

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai [imath]ax^2+bx+c=0\: (a,b,c\in \mathbb{R}, a\ne 0)[/imath] (1)

Xét [imath]\Delta =b^2-4ac[/imath] của phương trình. Ta thấy:

+ Khi [imath]\Delta =0:[/imath] (1) có nghiệm kép thực [imath]x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}[/imath].

+ Khi [imath]\Delta >0:[/imath] (1) có hai nghiệm thực phân biệt [imath]x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}[/imath]

+ Khi [imath]\Delta <0:[/imath] (1) có hai nghiệm ảo phân biệt [imath]x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{\Delta}}{2a}[/imath]

III. Bài tập vận dụng

1. Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là:

[imath]A. 1-3i \quad \quad B. -1+3i \quad \quad C. 1+3i \quad \quad D. -1-3i[/imath]

2. Cho số phức [imath]z=3-2i[/imath]. Tìm phần thực và phần ảo của số phức [imath]\overline{z}[/imath]

A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i

B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2

C. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2i

D. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng -2

3. Cho số phức [imath]z=2+i[/imath]. Tính [imath]|z|[/imath]

[imath]A. |z|=\sqrt5 \quad \quad B. |z|=5 \quad \quad C. |z|=2 \quad \quad D. |z|=3[/imath]

4. Cho [imath]z_1=2+4i; z_2=3-5i[/imath]. Xác định phần thực của [imath]w=z_1.\overline{z_2}^2[/imath]

[imath]A. -120 \quad \quad B. -32 \quad \quad C. 88 \quad \quad D. -152[/imath]

Spoiler: Đáp án

1C 2A 3A 4D

Mình cùng nhau làm bài tập để nắm chắc kiến thức hơn nhaaaaa


__________
Xem thêm: Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

 

[Alice_www]

BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM ​

Giả sử số phức [imath]z=x+yi[/imath] được biểu diễn bởi điểm [imath]M(x,y)[/imath]. Tìm tập hợp điểm [imath]M[/imath] là tìm hệ thức giữa [imath]x[/imath] và [imath]y[/imath] thỏa mãn yêu cầu đề bài

Mối liên hệ giữa x và y​	Kết luận tập hợp điểm [imath]M(x,y)[/imath]​
[imath]Ax+By+C=0[/imath]	Là đường thẳng [imath]d: Ax+By+C=0[/imath]
[imath]\left[\begin{matrix}(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\\x^2+y^2-2ax-2by+c=0\end{matrix}\right.[/imath]	Là đường tròn [imath](C)[/imath] có tâm [imath]I(a,b)[/imath] và bán kính [imath]R=\sqrt{a^2+b^2-c}.[/imath]
[imath]\left[\begin{matrix}(x-a)^2+(y-b)^2\le R^2\\x^2+y^2-2ax-2by+c\le 0\end{matrix}\right.[/imath]	Là hình tròn [imath](C)[/imath] có tâm [imath]I(a,b)[/imath] và bán kính [imath]R=\sqrt{a^2+b^2-c}.[/imath] (kể cả phần bên trong)
[imath]R_1^2\le (x-a)^2+(y-b)^2\le R_2^2[/imath]	Là những điểm có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm [imath]I(a,b)[/imath] và bán kính lần lượt là [imath]R_1, R_2[/imath]
[imath]y=ax^2+bx+c, (a\ne 0)[/imath]	Là một Parabol có đỉnh [imath]I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)[/imath]
[imath]\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1[/imath] với [imath]\left\{\begin{matrix}MF_1+MF_2=2A\\F_1F_2=2c<2a\end{matrix}\right.[/imath]	Là một elip có trục lớn [imath]2a[/imath], trục bé [imath]2b[/imath] và tiêu cự là [imath]2c=2\sqrt{a^2-b^2}, (a>b>0)[/imath]
[imath]|\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}|[/imath]	Là đường trung trực của đoạn thẳng AB

BÀI TẬP VÍ DỤ

1. Xét các số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn [imath](\overline{z}+3i)(z-3)[/imath] là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức [imath]z[/imath] là một đường tròn có bán kính bằng ?
Giải
Đặt [imath]z=x+yi[/imath]
[imath](\overline{z}+3i)(z-3)=(x-yi+3i)(x-3+yi)=x(x-3)+y(y-3)+i[xy-(x-3)(y-3)][/imath]
[imath](\overline{z}+3i)(z-3)[/imath] là số thuần ảo [imath]\Rightarrow x^2-3x+y^2-3y=0\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{3}2\right)^2+\left(y-\dfrac{3}2\right)^2=\dfrac92[/imath]
[imath]\Rightarrow R=\dfrac{3\sqrt2}{2}[/imath]

2. Cho số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]|z-3+4i|\le 2[/imath]. Trong mặt phẳng [imath]Oxy[/imath] tập hợp điểm biểu diễn [imath]w=2z+1-i[/imath] là hình tròn có diện tích ?
[imath]w=2z+1-i\Rightarrow z=\dfrac{w-1+i}{2}[/imath]
[imath]|z-3+4i|\le 2\Rightarrow \left|\dfrac{w-1+i}{2}-3+4i\right|\le 2[/imath]
[imath]\Rightarrow |w-7+9i|\le 4[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] bán kính biểu diễn [imath]w[/imath] là [imath]4[/imath]
[imath]\Rightarrow S=\pi r^2=16\pi[/imath]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Cho số phức [imath]|z|[/imath] thỏa mãn [imath]|z|=2[/imath]. Tập hợp điểm biểu diễn số phức [imath]w=(1-i)\overline{z}+2i[/imath] là

A. Một đường tròn
B. Một đường thẳng
C. Một Elip
D. Một Parabol hoặc Hyperbol

2. Tập hợp điểm biểu diễn số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn [imath]|z+1|=|1-i-2z|[/imath] là đường tròn [imath](C)[/imath]. Tính bán kính [imath]R[/imath] đường tròn [imath](C)[/imath]
[imath]A. R=\dfrac{10}9 \quad \quad B. R=2\sqrt3 \quad \quad C. R=\dfrac{7}{3} \quad \quad D. R=\dfrac{\sqrt{10}}{3}[/imath]

3. Cho số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]|z+4|+|z-4|=10[/imath]. Tập hợp các điểm [imath]M[/imath] biểu diễn số phức [imath]z[/imath] là đường có phương trình
[imath]A. \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1 \quad \quad B. \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 \quad \quad c. \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{25}=1 \quad \quad D.\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{9}=1[/imath]
​

4. Cho [imath]z_1, z_2[/imath] là hai trong các số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]|z-5-3i|=5[/imath]. đồng thời [imath]|z_1-z_2|=8[/imath]. Tập hợp các điểm biểu diễn [imath]w=z_1+z_2[/imath] trong mặt phẳng tọa độ [imath]Oxy[/imath] là đường tròn có phương trình nào dưới đây.
A. [imath]\left(x-\dfrac52\right)^2+\left(y-\dfrac{3}2\right)^2=\dfrac{9}4[/imath]
B. [imath](x-10)^2+(y-6)^2=36[/imath]
C. [imath](x-10)^2+(y-6)^2=16[/imath]
D. [imath]\left(x-\dfrac52\right)^2+\left(y-\dfrac{3}2\right)^2=9[/imath]

Spoiler: Đáp án

1A 2D 3B 4B

Cùng nhau luyện tập để có kết quả thi thật tốt nha

__________
Xem thêm:
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
[HOT] Môn Toán - Đề Thi Tham Khảo Kỳ Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2022

 

[Alice_www]

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MIN MAX SỐ PHỨC​

I. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ

Các bất đẳng thức thường dùng

- BĐT Cauchy-Schwarz:

Cho [imath]a,b,c,d \in \mathbb{R},[/imath] ta có: [imath]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}[/imath]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [imath]ay=bx[/imath]

- BĐT Minkowski

Cho [imath]a,b,c,d \in \mathbb{R},[/imath] ta có: [imath]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}[/imath]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [imath]\left\{\begin{matrix}ay=bx\\ax+by\ge 0\end{matrix}\right.[/imath]

- BĐT tam giác

Cho các số phức [imath]z_1,z_2[/imath] ta có:

+[imath]|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|[/imath].

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [imath]\left[\begin{matrix}z_1=0\\z_1\ne 0, \exists k\in \mathbb{R}, k\ge 0,z_2=kz_1\end{matrix}\right.[/imath]

+[imath]|z_1-z_2|\ge \big||z_1|-|z_2|\big|[/imath].

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [imath]\left[\begin{matrix}z_1=0\\z_1\ne 0, \exists k\in \mathbb{R}, k\le 0,z_2=kz_1\end{matrix}\right.[/imath]

Một số kết quả thường gặp

+ Cho số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn: [imath]|z_1z+z_2|=r, \: (r>0)[/imath]

Khi đó [imath]\mathrm{max} |z|=\left|\dfrac{z_2}{z_1}\right|+\dfrac{r}{|z_1|},\:\mathrm{min} |z|=\left|\left|\dfrac{z_2}{z_1}\right|-\dfrac{r}{|z_1|} \right|[/imath]

+ Cho số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn [imath]|z_1z-z_2|=r_1, (r_1>0)[/imath]

Khi đó [imath]\mathrm{max} |z-z_3|=\left|\dfrac{z_2}{z_1}-z_3\right|+\dfrac{r}{|z_1|},\:\mathrm{min} |z-z_3|=\left|\left|\dfrac{z_2}{z_1}-z_3\right|-\dfrac{r}{|z_1|} \right|[/imath]

+ Cho số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn [imath]\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=k[/imath].

Khi đó [imath]\mathrm{max} |z|=\left|\dfrac{\sqrt{k^2+4}+k}{2}\right|,\:\mathrm{min} |z|=\left|\dfrac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}\right|[/imath]

+ Cho số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn [imath]\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|=2 a[/imath]. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức [imath]P=\left|z-z_{0}\right|[/imath] với [imath]z_{0} ; z_{1} ; z_{2}[/imath] cho trước

Đặt [imath]\left|z_{1}-z_{2}\right|=2 c ; b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}[/imath] thì:

[imath]\left|z_0-\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|=0[/imath]	max P=a, min P=b
[imath]\left\{\begin{matrix}\left|z_0-\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|>a\\z_0-z_1=k(z_0-z_2)\end{matrix}\right.[/imath]	max P=[imath]\left|z_0-\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|+a[/imath] min P=[imath]\left|z_0-\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|-a[/imath]
[imath]\left\{\begin{matrix}\left|z_0-\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|<a\\z_0-z_1=k(z_0-z_2)\end{matrix}\right.[/imath]	max P=[imath]\left|z_0-\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|+a[/imath]
[imath]|z_0-z_1|=|z_0-z_2|[/imath]	min P=[imath]\left|\left|z_0-\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|-b\right|[/imath]

II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Gọi [imath]M[/imath] là điểm biểu diễn số phức [imath]z[/imath]

Từ giả thiết bài toán, ta tìm tập hợp các số phức thỏa yêu cầu bài toán, thường là đường thẳng, đường tròn, elip,..

Ta biến đổi biểu thức cần tìm min - max thành một biểu thức theo M, thường là các khoảng cách từ M đến các điểm đã biết.

Cho [imath]M[/imath] đi động trên đường tròn [imath](I,R)[/imath], [imath]A[/imath] là điểm cố định.

[imath]MA\le AI+R[/imath], đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [imath]\overrightarrow{AI}[/imath] cùng hướng với [imath]\overrightarrow{IM}[/imath] hay [imath]M\equiv B[/imath]

[imath]MA\ge |AI-R|[/imath], đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [imath]\overrightarrow{AI}[/imath] ngược hướng với [imath]\overrightarrow{IM}[/imath] hay [imath]M\equiv C[/imath]

+ Cho M di động trên đường thẳng [imath]\Delta[/imath], [imath]A[/imath] là điểm cố định.

[imath]MA\ge d(A,\Delta)[/imath] đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [imath]AM\bot \Delta[/imath]

+ Cho M di động trên elip [imath](E)[/imath] có trục lớn [imath]\Delta[/imath], độ dài 2a, tâm I, A là điểm cố định

[imath]MA\le AI+a[/imath], đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [imath]\overrightarrow{AI}[/imath] cùng hướng với [imath]\overrightarrow{IM}[/imath]

[imath]MA\ge |AI-a|[/imath], đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [imath]\overrightarrow{AI}[/imath] ngược hướng với [imath]\overrightarrow{IM}[/imath]

+ Cho hai đường tròn [imath](T_1)[/imath] có tâm [imath]I[/imath], bán kính [imath]R_1[/imath]; đường tròn [imath](T_2)[/imath] có tâm [imath]J[/imath], bán kinh [imath]R_2[/imath]. Điểm M đi động trên [imath](T_1)[/imath], điểm N di động trên [imath](T_2)[/imath].

[imath]MA\le IJ+R_1+R_2[/imath], đẳng thức xảy ra khi [imath]M\equiv A, N\equiv D.[/imath]

[imath]MN\ge IJ-R_1-R_2[/imath], đẳng thức xảy ra khi [imath]M\equiv B, N\equiv C[/imath]

+ Cho đường tròn [imath](T)[/imath] có tâm [imath]I[/imath], bán kín [imath]R[/imath], đường thẳng [imath]\Delta[/imath] không có điểm chung với [imath](T)[/imath]. Điểm [imath]M[/imath] đi động trên [imath](T)[/imath], điểm [imath]N[/imath] di động trên [imath]\Delta[/imath]

[imath]MH\ge HJ,[/imath] đẳng thức xảy ra khi [imath]N\equiv H, M \equiv J[/imath]

Kiến thức khá nhiều nên mình sẽ không để bài tập tự luyên nữa nha
Chúc các bạn ôn luyện thật tốt ^^

 

[Alice_www]

BÀI TẬP VẬN DỤNG​

1. Cho hai số phức [imath]z_1,z_2[/imath] thỏa mãn [imath]|z_1+z_2|=6[/imath] và [imath]|z_1-z_2|=2[/imath]. Gọi [imath]M,m[/imath] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]P=|z_1|+|z_2|[/imath]. Khi đó modun của số phức [imath]M+mi[/imath] là?

Gọi [imath]A,B[/imath] lần lượt là các điểm biểu diễn số phức [imath]z_1,z_2[/imath]

Ta có: [imath]|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=6\Rightarrow 2|\overrightarrow{OI}|=6\Rightarrow OI=3[/imath] (với I là trung điểm AB)

[imath]|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=2\Rightarrow AB=2[/imath].

Xét [imath]\Delta OAB[/imath] có đường trung tuyến [imath]OI[/imath]

[imath]\Rightarrow OI^2=\dfrac{OA^2+OB^2}2-\dfrac{AB^2}4\Rightarrow OA^2+OB^2=20[/imath]

[imath]P=OA+OB\le \sqrt{2(OA^2+OB^2)}=2\sqrt{10}=M[/imath]

[imath]P=|z_1|+|z_2|\ge |z_1+z_2|=6=m[/imath]

Suy ra [imath]|M+mi|=|2\sqrt{10}+6i|=2\sqrt{19}[/imath]

2. Cho số phức [imath]z[/imath] thoải mãn [imath]|z-2+i|-|z+1-3i|=5[/imath]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]P=|z+1-4i|[/imath] bằng?

Gọi [imath]M[/imath] là điểm biểu diễn số phức [imath]z[/imath], [imath]A=(2,-1); B(-1,3)[/imath]

Ta có: [imath]MA-MB=5=AB[/imath]

Vậy [imath]M,B,A[/imath] thẳng hàng theo thứ tự.

[imath]\overrightarrow{AB}=(-3,4)[/imath], phương trình đường thẳng [imath]AB: 4x+3y-5=0[/imath]

Gọi [imath]C(-1,4)[/imath], ta cần tìm min [imath]MC[/imath].

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy [imath]M[/imath] là giao điểm của [imath]AB[/imath] và đưởng thẳng vuông góc với [imath]AB[/imath] qua [imath]C[/imath].

Khi đó [imath]MC=d(C,AB)=\dfrac{3}5[/imath].

Chú ý: Trong bài toán này chân đường cao của [imath]C[/imath] thỏa nằm trên tia đối của tia [imath]BA[/imath]. Trong trường hợp chân đường cao không nằm trên tia đối thì nó không thỏa điều kiện [imath]M,B,A[/imath] thẳng hàng thì sẽ ra kết quả khác. Khi đó [imath]M[/imath] sẽ trùng với điểm [imath]B[/imath] vì các điểm [imath]M'[/imath] nằm trên tia đối của tia [imath]BA[/imath] sẽ cho ta [imath]CM'> CB[/imath]

​