Nay diễn đàn cập nhật thấy viết bài đẹp quá nên nay viết thử xem sao :vv Bài tiếp theo nhé
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho hai véc-tơ [imath]\overrightarrow{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)[/imath] và [imath]\overrightarrow {b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)[/imath] khi đó tích có hướng của hai véc-tơ [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b}[/imath] là một véc-tơ kí hiệu là [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}][/imath] và có tọa độ
[math]\Big[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\Big]=\left(\left|\begin{array}{ll}
a_{2} & a_{3} \\
b_{2} & b_{3}
\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}
a_{3} & a_{1} \\
b_{3} & b_{1}
\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{2} \\
b_{1} & b_{2}
\end{array}\right|\right)=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} ; a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1} ; a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)[/math]- [imath]\overrightarrow{a}[/imath] cùng phương [imath]\overrightarrow{b} \Leftrightarrow[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}[/imath].
- [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{a} ;[\overrightarrow{a} ; \overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{b}[/imath]
- [imath][\overrightarrow{a} ; \overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b} ; \overrightarrow{a}][/imath]
- Ba véc-tơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] đồng phẳng khi và chỉ khi [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c}=0[/imath].
- [imath]A, B, C, D[/imath] tạo thành tứ diện [imath]\Leftrightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D} \neq 0[/imath].
- Diện tích hình bình hành [imath]A B C D: S_{A B C D}=\Big|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}]\Big|[/imath].
- Diện tích tam giác [imath]A B C: S_{A B C}=\dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|[/imath].
- Thể tích hình hộp: [imath]V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=\left|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}] \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}\right|[/imath].
- Thể tích hình tứ diện: [imath]V_{A B C D}=\dfrac{1}{6}\Big|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] . \overrightarrow{A D}\Big|[/imath].
2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa: Cho mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath]. Nếu [imath]\overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0}[/imath] và có giá vuông góc với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] thì [imath]\overrightarrow{n}[/imath] gọi là VTPT của [imath](\alpha)[/imath].
Lưu ý: Nếu [imath]\overrightarrow{n}[/imath] là VTPT của một phẳng phẳng thì mọi vecto cùng phương với [imath]\overrightarrow{n}[/imath] đều là VTPT của mặt phẳng đó.
Khái niệm. Hai vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}[/imath] đều khác [imath]\overrightarrow{0}[/imath] và không cùng phương với nhau được gọi là cặp vectơ chỉ phương của [imath](\alpha)[/imath] nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên [imath](\alpha)[/imath].
Khái niệm. Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho hai vectơ không cùng phương [imath]\overrightarrow{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)[/imath] và [imath]\overrightarrow{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)[/imath]. Khi đó vectơ [imath]\overrightarrow{n}=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} ; a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3} ; a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)[/imath] được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b}[/imath], kí hiệu là [imath]\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}[/imath] hoặc [imath]\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}][/imath].
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Định nghĩa. Phương trình có dạng [imath]A x+B y+C z+D=0[/imath] trong đó [imath]A, B, C[/imath] không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
i) Nếu mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] có phương trình tổng quát là [imath]A x+B y+C z+D=0[/imath] thì nó có một vectơ pháp tuyến là [imath]\overrightarrow{n}=(A ; B ; C)[/imath].
ii) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm [imath]M_{0}\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)[/imath] nhận vectơ [imath]\overrightarrow{n}=(A ; B ; C)[/imath] khác [imath]\overrightarrow{0}[/imath] làm vectơ pháp tuyến là [imath]A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0[/imath].
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Sự đồng phẳng của ba vectơ, bốn điểm đồng phẳng
- Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho ba vec-tơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] đều khác vectơ [imath]\overrightarrow{0}[/imath].
+ Ba vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] đồng phẳng khi và chỉ khi [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c}=0[/imath].
+ Ngược lại, ba vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath]
không đồng phẳng khi và chỉ khi [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c} \neq 0[/imath].
- Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] phân biệt.
+ Bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] đồng phẳng khi và chỉ khi các vec-tơ [imath]\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}[/imath] đồng phẳng hay [imath][\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=0[/imath].
+ Ngược lại, bốn điểm A,B,C,D
không đồng phẳng khi và chỉ khi các vectơ [imath]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}[/imath] không đồng phẳng hay [imath][\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0[/imath].
Ví dụ 1. Trong hệ tọa độ [imath]O x y z[/imath], xét sự đồng phẳng của các vec-tơ sau:
a) [imath]\overrightarrow{a}=(1 ;-1 ; 1), \overrightarrow{b}=(0 ; 1 ; 2)[/imath] và [imath]\overrightarrow{c}=(4 ; 2 ; 3)[/imath].
b) [imath]\overrightarrow{u}=(4 ; 3 ; 4), \overrightarrow{v}=(2 ;-1 ; 2)[/imath] và [imath]\overrightarrow{w}=(1 ; 2 ; 1)[/imath].
Lời giải.
a) Ta có: [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]=(-3 ;-2 ; 1) .[/imath]
Vì [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c}=-3 \cdot 4-2 \cdot 2+1 \cdot 3=-13 \neq 0[/imath] nên ba vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] không đồng phẳng.
b) Ta có: [imath][\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]=(10 ; 0 ;-10)[/imath].
Vì [imath][\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] \cdot \overrightarrow{w}=10 \cdot 1+0 \cdot 2-10 \cdot 1=0[/imath] nên ba vec-tơ [imath]\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}[/imath] đồng phẳng.
Ví dụ 2. Trong không gian [imath]O x y z[/imath], xét sự đồng phẳng của các điểm sau đây:
a) [imath]A(-4 ; 4 ; 0), B(2 ; 0 ; 4), C(1 ; 2 ;-1)[/imath] và [imath]D(7 ;-2 ; 3)[/imath].
b) [imath]M(6 ;-2 ; 3), N(0 ; 1 ; 6), P(2 ; 0 ;-1)[/imath] và [imath]Q(4 ; 1 ; 0)[/imath].
Lời giải.
Ta có: [imath]\overrightarrow{A B}=(6 ;-4 ; 4) ; \overrightarrow{A C}=(5 ;-2 ;-1)[/imath] và [imath]\overrightarrow{A D}=(11;-6;3)[/imath]
Khi đó: [imath][\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(12 ; 26 ; 8)[/imath].
Vì [imath][\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=12 \cdot 5+26 \cdot(-2)+8 \cdot(-1)=0[/imath] nên các vec-tơ [imath]\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}[/imath] đồng phẳng hay bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] đồng phẳng.
b) Ta có: [imath]\overrightarrow{M N}=(-6 ; 3 ; 3) ; \overrightarrow{M P}=(-4 ; 2 ;-4)[/imath] và [imath]\overrightarrow{M Q}=(-2 ; 3 ;-3)[/imath].
Khi đó: [imath][\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}]=(-18 ;-36 ; 0)[/imath].
Vì [imath]\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}] \cdot \overrightarrow{M Q}=-18 \cdot(-2)+(-36) \cdot 3+0 \cdot(-3)=-72 \neq 0[/imath] nên các vec-tơ [imath]\overrightarrow{M N}[/imath], [imath]\overrightarrow{M P}, \overrightarrow{M Q}[/imath] không đồng phẳng hay bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] không đồng phẳng.
___________
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
