Toán 12 [Ôn thi THPTQG 2022] Phương pháp toạ độ trong không gian

vangiang124

TMod Toán
Cu li diễn đàn
22 Tháng tám 2021
1,198
2,893
346
19
Gia Lai
THPT Chuyên Hùng Vương
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mở đầu chương này sẽ là tóm tắt lý thuyết và một số công thức cần nhớ để làm bài nha, không nhớ là bó tay không có làm được gì luôn. Chị nhớ hồi chị mới vừa học hè lớp 12, tức là đang ôn lại kiến thức lớp 11 thui, lớp chị có bạn kia lên giải bài hình không gian khó bằng ghép trục toạ độ, lúc đó kiểu cả lớp trố mắt nhìn luôn ấy, không hiểu bạn đang làm gì luôn, thực ra nếu hình không gian mà nhìn được hình thì làm trực tiếp nhanh hơn, còn đối với những bài hơi trừu tượng một chút thì dùng hệ trục toạ độ áp dụng công thức vào thì có lẽ sẽ nhanh hơn. Nên bài nào thấy không làm trực tiếp được thì có thể làm trục toạ độ ha. Cùng nắm trước lý thuyết và công thức nhee.


Download file? Click here :D

Xem full kiến thức ôn thi THPTQG ở link dưới đây nhé
https://diendan.hocmai.vn/threads/chinh-phuc-ki-thi-thptqg-mon-toan-2022.840109/
 

vangiang124

TMod Toán
Cu li diễn đàn
22 Tháng tám 2021
1,198
2,893
346
19
Gia Lai
THPT Chuyên Hùng Vương
Lý thuyết xong rồi thì làm gì nhỉ? Tất nhiên là làm bài tập ròi, bắt đầu ở những dạng bài cơ bản trước để làm quen và đồng thời làm nhiều để nhớ công thức lâu hơn nhaa.


Tải file tại đây hoặc click vào chú thỏ này:Rabbit66

:Tuzki33Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022:Tuzki32
 

vangiang124

TMod Toán
Cu li diễn đàn
22 Tháng tám 2021
1,198
2,893
346
19
Gia Lai
THPT Chuyên Hùng Vương
Nay diễn đàn cập nhật thấy viết bài đẹp quá nên nay viết thử xem sao :vv Bài tiếp theo nhé

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho hai véc-tơ [imath]\overrightarrow{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)[/imath] và [imath]\overrightarrow {b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)[/imath] khi đó tích có hướng của hai véc-tơ [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b}[/imath] là một véc-tơ kí hiệu là [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}][/imath] và có tọa độ

[math]\Big[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\Big]=\left(\left|\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|\right)=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} ; a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1} ; a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)[/math]- [imath]\overrightarrow{a}[/imath] cùng phương [imath]\overrightarrow{b} \Leftrightarrow[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}[/imath].

- [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{a} ;[\overrightarrow{a} ; \overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{b}[/imath]

- [imath][\overrightarrow{a} ; \overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b} ; \overrightarrow{a}][/imath]

- Ba véc-tơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] đồng phẳng khi và chỉ khi [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c}=0[/imath].

- [imath]A, B, C, D[/imath] tạo thành tứ diện [imath]\Leftrightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D} \neq 0[/imath].

- Diện tích hình bình hành [imath]A B C D: S_{A B C D}=\Big|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}]\Big|[/imath].

- Diện tích tam giác [imath]A B C: S_{A B C}=\dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|[/imath].

- Thể tích hình hộp: [imath]V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=\left|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}] \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}\right|[/imath].

- Thể tích hình tứ diện: [imath]V_{A B C D}=\dfrac{1}{6}\Big|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] . \overrightarrow{A D}\Big|[/imath].

2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa: Cho mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath]. Nếu [imath]\overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0}[/imath] và có giá vuông góc với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] thì [imath]\overrightarrow{n}[/imath] gọi là VTPT của [imath](\alpha)[/imath].

Lưu ý: Nếu [imath]\overrightarrow{n}[/imath] là VTPT của một phẳng phẳng thì mọi vecto cùng phương với [imath]\overrightarrow{n}[/imath] đều là VTPT của mặt phẳng đó.

Khái niệm. Hai vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}[/imath] đều khác [imath]\overrightarrow{0}[/imath] và không cùng phương với nhau được gọi là cặp vectơ chỉ phương của [imath](\alpha)[/imath] nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên [imath](\alpha)[/imath].

Khái niệm. Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho hai vectơ không cùng phương [imath]\overrightarrow{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)[/imath] và [imath]\overrightarrow{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)[/imath]. Khi đó vectơ [imath]\overrightarrow{n}=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} ; a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3} ; a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)[/imath] được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b}[/imath], kí hiệu là [imath]\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}[/imath] hoặc [imath]\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}][/imath].

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa. Phương trình có dạng [imath]A x+B y+C z+D=0[/imath] trong đó [imath]A, B, C[/imath] không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

i) Nếu mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] có phương trình tổng quát là [imath]A x+B y+C z+D=0[/imath] thì nó có một vectơ pháp tuyến là [imath]\overrightarrow{n}=(A ; B ; C)[/imath].
ii) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm [imath]M_{0}\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)[/imath] nhận vectơ [imath]\overrightarrow{n}=(A ; B ; C)[/imath] khác [imath]\overrightarrow{0}[/imath] làm vectơ pháp tuyến là [imath]A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0[/imath].

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Sự đồng phẳng của ba vectơ, bốn điểm đồng phẳng

- Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho ba vec-tơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] đều khác vectơ [imath]\overrightarrow{0}[/imath].

+ Ba vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] đồng phẳng khi và chỉ khi [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c}=0[/imath].

+ Ngược lại, ba vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] không đồng phẳng khi và chỉ khi [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c} \neq 0[/imath].

- Trong không gian [imath]O x y z[/imath], cho bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] phân biệt.

+ Bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] đồng phẳng khi và chỉ khi các vec-tơ [imath]\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}[/imath] đồng phẳng hay [imath][\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=0[/imath].

+ Ngược lại, bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng khi và chỉ khi các vectơ [imath]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}[/imath] không đồng phẳng hay [imath][\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0[/imath].

Ví dụ 1.
Trong hệ tọa độ [imath]O x y z[/imath], xét sự đồng phẳng của các vec-tơ sau:
a) [imath]\overrightarrow{a}=(1 ;-1 ; 1), \overrightarrow{b}=(0 ; 1 ; 2)[/imath] và [imath]\overrightarrow{c}=(4 ; 2 ; 3)[/imath].
b) [imath]\overrightarrow{u}=(4 ; 3 ; 4), \overrightarrow{v}=(2 ;-1 ; 2)[/imath] và [imath]\overrightarrow{w}=(1 ; 2 ; 1)[/imath].

Lời giải.
a) Ta có: [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]=(-3 ;-2 ; 1) .[/imath]

Vì [imath][\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \cdot \overrightarrow{c}=-3 \cdot 4-2 \cdot 2+1 \cdot 3=-13 \neq 0[/imath] nên ba vectơ [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] không đồng phẳng.

b) Ta có: [imath][\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]=(10 ; 0 ;-10)[/imath].

Vì [imath][\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] \cdot \overrightarrow{w}=10 \cdot 1+0 \cdot 2-10 \cdot 1=0[/imath] nên ba vec-tơ [imath]\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}[/imath] đồng phẳng.

Ví dụ 2. Trong không gian [imath]O x y z[/imath], xét sự đồng phẳng của các điểm sau đây:
a) [imath]A(-4 ; 4 ; 0), B(2 ; 0 ; 4), C(1 ; 2 ;-1)[/imath] và [imath]D(7 ;-2 ; 3)[/imath].
b) [imath]M(6 ;-2 ; 3), N(0 ; 1 ; 6), P(2 ; 0 ;-1)[/imath] và [imath]Q(4 ; 1 ; 0)[/imath].

Lời giải.

Ta có: [imath]\overrightarrow{A B}=(6 ;-4 ; 4) ; \overrightarrow{A C}=(5 ;-2 ;-1)[/imath] và [imath]\overrightarrow{A D}=(11;-6;3)[/imath]

Khi đó: [imath][\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(12 ; 26 ; 8)[/imath].

Vì [imath][\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=12 \cdot 5+26 \cdot(-2)+8 \cdot(-1)=0[/imath] nên các vec-tơ [imath]\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}[/imath] đồng phẳng hay bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] đồng phẳng.

b) Ta có: [imath]\overrightarrow{M N}=(-6 ; 3 ; 3) ; \overrightarrow{M P}=(-4 ; 2 ;-4)[/imath] và [imath]\overrightarrow{M Q}=(-2 ; 3 ;-3)[/imath].

Khi đó: [imath][\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}]=(-18 ;-36 ; 0)[/imath].

Vì [imath]\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}] \cdot \overrightarrow{M Q}=-18 \cdot(-2)+(-36) \cdot 3+0 \cdot(-3)=-72 \neq 0[/imath] nên các vec-tơ [imath]\overrightarrow{M N}[/imath], [imath]\overrightarrow{M P}, \overrightarrow{M Q}[/imath] không đồng phẳng hay bốn điểm [imath]A, B, C, D[/imath] không đồng phẳng.
___________

Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
 
Last edited:

vangiang124

TMod Toán
Cu li diễn đàn
22 Tháng tám 2021
1,198
2,893
346
19
Gia Lai
THPT Chuyên Hùng Vương

Dạng 2: Diện tích của tam giác

Phương pháp: Sử dụng công thức [imath]S_{ABC}=\dfrac{1}2 AB.AC. \sin \widehat{BAC}=\dfrac{1}2 \Big|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]\Big|[/imath]

Ví dụ: Trong không gian [imath](O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})[/imath] cho [imath]\overrightarrow{O A}=2 \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-3 \overrightarrow{k}, \overrightarrow{O B}=4 \overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}-[/imath] [imath]2 \overrightarrow{k}, \overrightarrow{B C}=(2 ;-7 ; 1)[/imath] và [imath]A^{\prime}(4 ; 1 ;-7)[/imath].
a) Tính diện tích tam giác [imath]A B C[/imath].
b) Tính diện tích tam giác [imath]A^{\prime} B C[/imath].

Lời giải.
Từ đề bài ta có [imath]A(2 ; 1 ;-3), B(4 ; 3 ;-2), C(6 ;-4 ;-1)[/imath].

a) Ta có [imath]\overrightarrow{A B}=(2 ; 2 ; 1), \overrightarrow{A C}=(4 ;-5 ; 2) \Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(9 ; 0 ;-18)[/imath].

Vậy diện tích tam giác [imath]A B C[/imath] là: [imath]S_{A B C}=\dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|=\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{9^{2}+0^{2}+(-18)^{2}}=\dfrac{9 \sqrt{5}}{2}[/imath].

b) Ta có [imath]\overrightarrow{A^{\prime} B}=(0 ; 2 ; 5), \overrightarrow{A^{\prime} C}=(2 ;-5 ; 6) \Rightarrow\left[\overrightarrow{A^{\prime} B}, \overrightarrow{A^{\prime} C}\right]=(37 ; 10 ;-4)[/imath].

Vậy diện tích tam giác [imath]A^{\prime} B C[/imath] là: [imath]S_{A^{\prime} B C}=\dfrac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{A^{\prime} B}, \overrightarrow{A^{\prime} C}\right]\right|=\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{37^{2}+10^{2}+(-4)^{2}}=\dfrac{3 \sqrt{165}}{2}[/imath]

Dạng 3: Thể tích khối chóp

Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện [imath]ABCD[/imath] là [imath]V_{ABCD}=\dfrac{1}6 \Big|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]. \overrightarrow{AD}\Big|[/imath]

Ví dụ 1. Trong không gian [imath]O x y z[/imath] cho [imath]A(3 ;-2 ; 1), B(-1 ; 0 ; 2), C(3 ; 4 ;-5), D(0 ; 0 ; 1)[/imath]. Tính thể tích khối tứ diện [imath]A B C D[/imath].
Lời giải.
Ta có
[math]\begin{aligned} &\overrightarrow{A B}=(-4 ; 2 ; 1), \overrightarrow{A C}=(0 ; 6 ;-6), \overrightarrow{A D}=(-3 ; 2 ; 0) \\ &\Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(-18 ;-24 ;-24) \\ &\Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=-3 \cdot(-18)-2 \cdot 24=6 . \\ &\text { Vậy } V_{A B C D}=\dfrac{1}{6}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}|=1 \end{aligned}[/math]
Ví dụ 2. Cho hình chóp [imath]S . A B C D[/imath] có đáy [imath]A B C D[/imath] là hình chữ nhật. Các đỉnh của khối chóp có tọa độ là [imath]A(2 ; 1 ;-3), B(4 ; 3 ;-2), C(6 ;-4 ;-1), S(2 ; 1 ;-5)[/imath]. Tính thể tích khối chóp [imath]S . A B C D[/imath].

Lời giải.
Ta có [imath]V_{S . A B C D}=2 \cdot V_{S . A B C}=\dfrac{1}{3} \cdot|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A S}|[/imath].

Mà: [imath]\overrightarrow{A B}=(2 ; 2 ; 1), \overrightarrow{A C}=(4 ;-5 ; 2) \Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(9 ; 0 ;-18), \overrightarrow{A S}=(0 ; 0 ;-2)[/imath].

[imath]\Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A S}=36[/imath]
Vậy [imath]V_{S . A B C D}=2 \cdot V_{S . A B C}=\dfrac{1}{3} \cdot|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A S}|=12[/imath]

Dạng 4: Thể tích khối hộp

Thể tích hình hộp [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] là [imath]V_{ABCD.A'B'C'D'}=\Big|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}] \cdot \overrightarrow{AA'}\Big|[/imath]

Ví dụ. Trong không gian [imath]O x y z[/imath] cho các điểm [imath]B(1 ; 3 ; 1), C(0 ; 1 ;-1), D(-2 ; 0 ; 1), A^{\prime}(2 ; 1 ; 1)[/imath]. Tính thể tích khối hộp [imath]A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}[/imath].

Lời giải.
Gọi thể tích khối hộp [imath]A B C D \cdot A'B'C'D'[/imath] là [imath]V[/imath].

Vậy [imath]V=\left|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}] \cdot \overrightarrow{A A'}\right|[/imath].

Vì [imath]A B C D[/imath] là hình bình hành nên [imath]\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}[/imath].

Mà [imath]\overrightarrow{A B}=\left(1-x_{A} ; 3-y_{A} ; 1-z_{A}\right) ; \overrightarrow{D C}=(2 ; 1 ;-2)[/imath]


Vì [imath]A B C D[/imath] là hình bình hành nên [imath]\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}[/imath].

Mà [imath]\overrightarrow{A B}=\left(1-x_{A} ; 3-y_{A}\right)[/imath]

[imath]\Rightarrow[/imath] [imath]\begin{cases} 1 - x _A = 2 \\ 3 - y _A = 1 \\ 1 - z _A = - 2 \end{cases}[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \begin{cases} x_{A}=-1 \\ y_{A}=2 \\ z_{A}=3 \end{cases}[/imath]

[imath]\Rightarrow A(-1 ; 2 ; 3)[/imath]

Vậy [imath]\overrightarrow{AB}=(2 ; 1 ;-2), \overrightarrow{AD}=(-1 ;-2 ;-2), \overrightarrow{AA'}=(3 ;-1 ;-2).[/imath]

[imath]\Rightarrow[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}]=(-6 ; 6 ;-3) \Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{AD}] \cdot \overrightarrow{AA'}=-18-6+6=-18.[/imath]

[imath]\Rightarrow V=\left|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}] \cdot \overrightarrow{A A'}\right|=18[/imath]

_________
uida díp cả mắt ròiii, xem đầy đủ ở link dưới đây nha mọi người, good night...

Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
 
Top Bottom