Toán 9 [Ôn thi HKI] Chuyên đề: Hàm số bậc nhất

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

A. Lý thuyết
1. Một số khái niệm của hàm số

• Nếu đại lượng $y$ thay đổi phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao mỗi giá trị của $x$ chỉ xác định được 1 giá trị duy nhất của $y$ thì ta nói $y$ là hàm số của $x$.
• Khi $y$ là hàm số của $x$, ta gọi $x$ là biến số của hàm số.
• Có 2 cách để cho giá trị của hàm số, đó là bằng bảng giá trị hoặc cho bằng công thức.
• Giá trị của hàm số $f(x)$ tại điểm $x=x_0$ kí hiệu là $f(x_0)$.
• Đồ thị hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các điểm trên $M(x,y)$ trên hệ trục tọa độ thỏa mãn $y=f(x)$.
• Với hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$

• Nếu $\forall x_1 <x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$ ta nói hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Nếu $\forall x_1 >x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$ ta nói hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

2. Hàm số bậc nhất $y=ax+b$

• Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ với $a \neq 0$.
• Hàm số bậc nhất $y=ax+b$ xác định trên $\mathbb{R}$.
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất:

• Nếu hàm số $y=ax+b$ có $a>0$ thì hàm số đồng biến.
• Nếu hàm số $y=ax+b$ có $a<0$ thì hàm số nghịch biến.

• Cách vẽ đồ thị hàm số $y=|ax+b|$.

• Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b$
• Bước 2: Với nhánh đồ thị mà $y<0$, lấy tia đối xứng với nhánh đó qua trục hoành $Ox$.
  

3. Vị trí tương đối của đồ thị hàm số bậc nhất $y=ax+b$

• Đồ thị hàm số bậc nhất $y=ax+b$ là 1 đường thẳng.
• Xét đồ thị 2 hàm số $(d):y=ax+b$ và $(d’): y=a’x+b’$

• Nếu $a=a’;b=b’$ thì $d,d’$ trùng nhau.
• Nếu $a=a’;b \neq b’$ thì $d \parallel d’$.
• Nếu $a \neq a’$ thì $d$ cắt $d’$ tại 1 điểm duy nhất.

4. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

• Đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc đường thẳng là $a$.
• 2 đường thẳng song song với nhau thì có hệ số góc bằng nhau.
• 2 đường thẳng vuông góc với nhau thì có tích hệ số bằng $-1$.
• Đường thẳng $y=ax+b (a \neq 0)$ tạo với tia $Ox$ một góc $\alpha$ thì $a=\tan \alpha$.
• Đường thẳng đi qua điểm $A(x_0,y_0)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình đường thẳng là $y=k(x-x_0)+y_0$.

B. Một số dạng bài tập áp dụng
Dạng 1: Nhắc lại và bổ sung khái niệm hàm số
Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x-5}$

1. Xác định điều kiện xác định của hàm số
2. Tính $f(5), f(8)$.
3. Chứng minh hàm số đồng biến với $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Hướng dẫn:

1. Điều kiện xác định: $x \geq 5$
2. $f(5)=0,f(8)=\sqrt{3}$
3. Xét 2 số $x_1>x_2 \geq 5$.

Ta có: $f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1-5}-\sqrt{x_2-5}=\dfrac{x_1-5-(x_2-5)}{\sqrt{x_1-5}+\sqrt{x_2-5}}=\dfrac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1-5}+\sqrt{x_2-5}}>0$
Từ đó suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến với $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.
Dạng 2: Hàm số và đồ thị hàm số bậc nhất
Ví dụ: Xét hàm số $y=(m^2-2m)x+3$

1. Tìm điều kiện của hàm số để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
2. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến.

Hướng dẫn:
1. Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi $m^2-2m \neq 0$
$\Leftrightarrow m \neq 0, m \neq 2$
2. Với $m=0$ hoặc $m=2$ thì hàm số đã cho là hàm hằng, không có tính đồng biến hay nghịch biến.
Với $m \neq 0, m \neq 2$ thì hàm số đã cho là hàm bậc nhất. Khi đó:

• Hàm số đồng biến khi $m^2-2m > 0$

$\Leftrightarrow m > 2$ hoặc $m <0$

• Hàm số nghịch biến khi $m^2-2m < 0$

$\Leftrightarrow 0 < m < 2$.
Dạng 3: Vị trí tương đối của đồ thị hàm số $y=ax+b$
Ví dụ: Cho hàm số $y=mx-2m+1$ với $m$ là tham số.

1. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho song song với đồ thị hàm số $y=-3x+5$
2. Xác định $m$ để đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đồ thị hàm số $y=\dfrac{2}{5}x-9$
3. Chứng minh đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua 1 điểm cố định khi $m$ thay đổi.

Hướng dẫn:
Nhận thấy đồ thị hàm số đã cho có hệ số góc là $m$
1. Đồ thị hàm số $y=-3x+5$ có hệ số góc là $-3$.
Từ đó để 2 đồ thị hàm số đó song song với nhau thì $m=-3$.
Khi đó hàm số đã cho là $y=-3x+7$, không trùng với $y=-3x+5$ nến $m=-3$ thỏa mãn.
2. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2}{5}x-9$ có hệ số góc là $\dfrac{2}{5}$
Để 2 đồ thị hàm số đó vuông góc với nhau thì $\dfrac{2}{5}.m=-1$
$\Leftrightarrow m=-\dfrac{5}{2}$
3. Giả sử đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm $(x_0,y_0)$ cố định.
Khi đó $mx_0-2m-1=y_0 \forall m$
$\Leftrightarrow (x_0-2)m=y_0+1 \forall m$
Phương trình bậc nhất có vô số nghiệm khi các hệ số của nó đều bằng 0.
$\Rightarrow x_0-2=y_0+1=0$
$\Rightarrow x_0=2,y_0=-1$.
Vậy đồ thị hàm số ban đầu luôn đi qua điểm $(2,-1)$ cố định.



Tổng hợp topic ôn thi học kì