Toán 11 [Ôn thi HK] Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

VECTOR TRONG KHÔNG GIAN​

1. Định nghĩa

1. Vector là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).

2. Vector không là vector có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu [imath]\overrightarrow{0}[/imath].

3. Ký hiệu vector: [imath]\overrightarrow{AB}[/imath] (điểm đầu là [imath]A[/imath], điểm cuối là [imath]B[/imath] ) hay [imath]\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} , \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} , . . .[/imath]

4. Độ dài của vector là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vector đó. Độ dài của [imath]\overrightarrow{AB}[/imath] ký hiệu là [imath]|\overrightarrow{AB}|[/imath], độ dài của [imath]\overrightarrow{a}[/imath] ký hiệu là [imath]|\overrightarrow{a} |[/imath].

5. Giá của vector là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vector đó.

6. Hai vector được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

7. Hai vector bằng nhau là hai vector cùng hướng và có cùng độ dài.

8. Hai vector đối nhau là hai vector ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài.

9. Các phép toán cộng, trừ, nhân véc-tơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.


2. Quy tắc tính toán trong vector

1. Quy tắc ba điểm (với phép cộng): [imath]\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}[/imath].

2. Quy tắc ba điểm (với phép trừ): [imath]\overrightarrow{OB} − \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}[/imath].

3. Quy tắc ba điểm (mở rộng): [imath]\overrightarrow{AX_1} + \overrightarrow{X_1X_2} + \overrightarrow{X_2X_3} + \cdots + \overrightarrow{X_{n - 1} X_n} + \overrightarrow{X_n B} = \overrightarrow{AB}[/imath]

4. Quy tắc hình bình hành:

• [imath]\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}[/imath]
• [imath]\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AE}[/imath]

trong đó: [imath]ABCD[/imath] là hình bình hành, [imath]E[/imath] là trung điểm của [imath]BD[/imath]

5. Quy tắc hình hộp: [imath]\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}[/imath] trong đó [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] là hình hộp



3. Một số hệ thức vector trọng tâm cần nhớ

1. [imath]I[/imath] là trung điểm của đoạn thẳng [imath]AB \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}[/imath]

2. [imath]G[/imath] là trọng tâm của tam giác [imath]ABC \iff \overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3 \overrightarrow{OG} \iff \overrightarrow{AG} = \dfrac{2}3 \overrightarrow{AM} [/imath] ( với [imath]O[/imath] là một điểm bất kỳ, [imath]M[/imath] là trung điểm cạnh [imath]BC[/imath]

3. [imath]G[/imath] là trọng tâm của tứ diện [imath]ABCD \iff \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}[/imath]
[imath]\iff \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OG} \iff \overrightarrow{AG} = \dfrac{3}4\overrightarrow{AA'}[/imath] ( với [imath]O[/imath] là điểm bất kỳ, [imath]A'[/imath] là trọng tâm của [imath]\triangle BCD[/imath] )

4. [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b} \ne \overrightarrow{0}[/imath] cùng phương [imath]\iff \exists \, k \in \mathbb R \, : \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}[/imath]

5. [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b} \ne \overrightarrow{0}[/imath] cùng hướng [imath]\iff \exists \, k \in \mathbb R^+ \, : \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}[/imath]

6. [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b} \ne \overrightarrow{0}[/imath] ngược hướng [imath]\iff \exists \, k \in \mathbb R^- \, : \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}[/imath]

7. Ba điểm [imath]A, B, C[/imath] thẳng hàng [imath]\iff \exists \, k \in \mathbb R : \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}[/imath]


4. Điều kiện đồng phẳng của ba vector

- Định nghĩa 1: Trong không gian, ba vector được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

- Hệ quả 1: Nếu có một mặt phẳng chứa vetor này đồng thời song song với giá của hai vector kia thì ba vector đó đồng phẳng.

- Định lí 1: (Điều kiện để ba vector đồng phẳng) Trong không gian cho hai vector [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b}[/imath] không cùng phương và vector [imath]\overrightarrow{c}[/imath] . Khi đó [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}[/imath] đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số [imath](m; n)[/imath] sao cho [imath]\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}[/imath] (cặp số [imath](m; n)[/imath] nêu trên là duy nhất).

- Chú ý: Bốn điểm [imath]A,B,C,D[/imath] đồng phẳng [imath]\iff \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}[/imath] đồng phẳng [imath]\iff \overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AC} + n\overrightarrow{AD}[/imath]

5. Phân tích một vector theo ba vector không đồng phẳng



Định lí 2: Cho ba vector [imath]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}[/imath] và [imath]\overrightarrow{c}[/imath] không đồng phẳng. Với mọi vector [imath]\overrightarrow{x}[/imath], ta đều tìm được duy nhất một bộ số [imath](m; n; p)[/imath] sao cho [imath]\overrightarrow{x}= m\overrightarrow{a} + n \overrightarrow{b}+ p \overrightarrow{c}[/imath]


6. Tích vô hướng của hai vector

1. Nếu [imath]\overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0}[/imath] và [imath]\overrightarrow{b} \ne \overrightarrow{0}[/imath] thì [imath]\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos (\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b})[/imath]

2. Nếu [imath]\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}[/imath] hoặc [imath]\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}[/imath] thì [imath]\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}[/imath]

3. Bình phương vô hướng của một vector: [imath]\overrightarrow{a}^2 = |\overrightarrow{a}|^2[/imath]

 

[Timeless time]

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC​

1. Tích vô hướng của hai vector trong không gian

Định nghĩa 1: Trong không gian, cho [imath]\overrightarrow{u}[/imath] và [imath]\overrightarrow v[/imath] là hai vector khác vector không. Lấy một điểm [imath]A[/imath] bất kì, gọi [imath]B, C[/imath] là hai điểm sao cho [imath]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{AC} = \overrightarrow v[/imath]. Khi đó, ta gọi [imath]\widehat{BAC}\, (0^\circ \le \widehat{BAC} \le 180^\circ )[/imath] là góc giữa hai vector [imath]\overrightarrow{u}[/imath] và [imath]\overrightarrow{v}[/imath], khí hiệu là [imath](\overrightarrow v , \overrightarrow v)[/imath].




Định nghĩa 2: Trong không gian, cho [imath]\overrightarrow{u}[/imath] và [imath]\overrightarrow v[/imath] là hai vector khác vector không. Tích vô hướng của hai vector [imath]\overrightarrow u[/imath] và [imath]\overrightarrow v[/imath] là một số, kí hiệu là [imath]\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v[/imath] và được tính bởi công thức: [imath]\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = |\overrightarrow u| \cdot |\overrightarrow v| \cdot \cos(\overrightarrow v , \overrightarrow v)[/imath]

Chú ý: Trong trường hợp [imath]\overrightarrow u = \overrightarrow 0[/imath] hoặc [imath]\overrightarrow v = \overrightarrow 0[/imath] , ta quy ước [imath]\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \overrightarrow 0[/imath]

2. Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 3: Vector [imath]\overrightarrow{a}[/imath] khác vector không được gọi là vector chỉ phương của đường thẳng [imath]d[/imath] nếu giá của vector [imath]\overrightarrow{a}[/imath] song song hoặc trùng với đường thẳng [imath]d[/imath].



1. Nếu [imath]\overrightarrow {a}[/imath] là vector chỉ phương của đường thẳng [imath]d[/imath] thì vector [imath]k \overrightarrow{a}[/imath] với [imath]k \neq 0[/imath] cūng là vector chỉ phương của đường thẳng [imath]d[/imath].

2. Một đường thẳng [imath]d[/imath] trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm [imath]A[/imath] thuộc [imath]d[/imath] và một vector chỉ phương [imath]\overrightarrow{a}[/imath] của nó.

3. Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vector chỉ phương cùng phương.

Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] trong không gian là góc giữa hai đường thẳng [imath]a^{\prime}[/imath] và [imath]b^{\prime}[/imath] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath].




1. Để xác định góc giữa hai đường thẳng [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] ta có thể lấy điểm [imath]O[/imath] thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua [imath]O[/imath] và song song với đường thẳng còn lại.

2. Nếu [imath]\overrightarrow{u}[/imath] và [imath]\overrightarrow{v}[/imath] lần lượt là véc-tơ chỉ phương của [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath], đồng thời [imath](\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=\alpha[/imath] thì góc giữa hai đường thẳng [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] bằng [imath]\alpha[/imath] nếu [imath]0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}[/imath] và bằng [imath]180^{\circ}-\alpha[/imath] nếu [imath]90^{\circ}<\alpha \leq 180^{\circ}[/imath].

3. Nếu [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng [imath]0^{\circ}[/imath].

 

[Timeless time]

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG​

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1: Đường thẳng [imath]d[/imath] được gọi là̀ vuông góc với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] nếu [imath]d[/imath] vuông góc với mọi đường thẳng [imath]a[/imath] nằm trong mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath].
Khi đó ta còn nói [imath](\alpha)[/imath] vuông góc [imath]d[/imath] và kí hiệu [imath]d \perp(\alpha)[/imath] hoặc [imath](\alpha) \perp d[/imath].



2. Điều kiện đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí 1: Nếu một dường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mạt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

[imath]\bullet[/imath] Tóm tắt định lí: [imath]\left\{\begin{array}{l}a, b \subset(\alpha) \\ a \cap b=O \\ d \perp a \\ d \perp b\end{array} \implies d \perp(\alpha) .\right.[/imath]



Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.



Chú ý: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng A[imath]B[/imath] là mặt phẳng đi qua trung điểm [imath]I[/imath] của đoạn thẳng [imath]AB[/imath] và vuông góc với đường thẳng [imath]AB[/imath].

Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.



4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Tính chất 3:

1. Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

[imath]\bullet[/imath] Tóm tắt: [imath]\begin{cases} a \parallel b \\ (\alpha) \perp a \end{cases} \implies (\alpha) \perp b.[/imath]

2. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

[imath]\bullet[/imath] Tóm tắt: [imath]\begin{cases} a \perp (\alpha) \\ b \perp (\alpha) \\ a \not \equiv b \end{cases} \implies (\alpha) \perp b.[/imath]



Tính chất 4:

1. Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

[imath]\bullet[/imath] Tóm tắt: [imath]\begin{cases} (\alpha) \parallel (\beta) \\ a \perp (\alpha) \end{cases} \implies a \perp (\beta).[/imath]


2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

[imath]\triangle[/imath] Tóm tắt: [imath]\left\{\begin{array}{l}(\alpha) \perp a \\ (\beta) \perp a \\ (\alpha) \not \equiv(\beta)\end{array} \Rightarrow(\alpha) \|(\beta)\right.[/imath]



Tính chất 5:

1. Cho đường thẳng [imath]a[/imath] và mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] song song vơi nhau. Dường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] thì cūng vuông góc với [imath]a[/imath].

[imath]\bullet[/imath] Tóm tắt: [imath]\left\{\begin{array}{l}a \|(\alpha) \\ b \perp(\alpha)\end{array} \Rightarrow b \perp a .\right.[/imath]

2. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

[imath]\bullet[/imath] Tóm tắt: [imath]\begin{cases} a \not \subset (\alpha) \\ a \perp b \\ (\alpha) \perp b \end{cases} \implies a \parallel (\alpha).[/imath]



5. Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc

1. Phép chiếu vuông góc

Cho đường thẳng [imath]\Delta[/imath] vuông góc với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath]. Phép chiếu song song theo phương của [imath]\Delta[/imath] lên mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] được gọi là̀ phé́p chiếu vuông góc lên mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath].



2. Định lí ba đường vuông góc

Định lí 2: Cho đường thẳng [imath]a[/imath] nằm trong mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] và [imath]b[/imath] là đường thẳng không thuộc [imath](\alpha)[/imath] đồng thời không vuông góc với [imath](\alpha)[/imath]. Gọi [imath]b'[/imath] là hình chiếu vuông góc của [imath]b[/imath] trên [imath](\alpha)[/imath]. Khi đó [imath]a[/imath] vuông góc với [imath]b[/imath] khi và chỉ khi [imath]a[/imath] vuông góc với [imath]b'[/imath].

[imath]\bullet[/imath] Tóm tắt: [imath]\begin{cases} a \subset (\alpha) \\ b \not \subset (\alpha) \\ b \not \perp (\alpha) \\ b' \,\, \text{ là hình chiếu vuông góc}\, b\, \text{trên}\, (\alpha) \end{cases} \implies a \perp b \iff a \perp b'.[/imath]



3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa 2: Cho đường thẳng [imath]d[/imath] và mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath]. Trường hợp đường thẳng [imath]d[/imath] vuông góc với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng [imath]d[/imath] và mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] bằng [imath]90^{\circ}[/imath].
Trường hợp đường thẳng [imath]d[/imath] không vuông góc với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] thì góc giữa đường thẳng [imath]d[/imath] và hình chiếu [imath]d^{\prime}[/imath] của nó trên [imath](\alpha)[/imath] gọi là góc giữa đường thẳng [imath]d[/imath] và mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath].



Chú ý: Nếu [imath]\varphi[/imath] là góc giữa hai đường thẳng [imath]d[/imath] và mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] thì ta luôn có [imath]0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}[/imath].

 

[Timeless time]

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC​

1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa 1: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng [imath]0^\circ[/imath] .



2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

1. Tìm giao tuyến [imath]c[/imath] của [imath](\alpha)[/imath] và [imath](\beta)[/imath].

2. Tìm hai đường thẳng [imath]a, b[/imath] lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với [imath]c[/imath] tại một điểm.

3. Góc giữa [imath](\alpha)[/imath] và [imath](\beta)[/imath] là góc giữa [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath].



3. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Định nghĩa 2: Cho đa giác [imath]\mathscr{H}[/imath] nằm trong mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] có diện tích là [imath]S[/imath] và [imath]\mathscr H'[/imath] là hình chiếu vuông góc của [imath]\mathscr H[/imath] trên mặt phẳng [imath](\beta)[/imath]. Khi đó diện tích [imath]S'[/imath] của hình [imath]\mathscr H[/imath] được tính theo công thức như sau: [imath]S' = S \cdot \cos \varphi[/imath] với [imath]\varphi[/imath] là góc giữa [imath](\alpha)[/imath] và [imath](\beta)[/imath].

4. Hai mặt phẳng vuông góc

Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.



Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] và [imath](\beta)[/imath] vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [imath](\beta)[/imath] thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath].

Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

5. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Định nghĩa 4: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

Định nghĩa 5: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.

Định nghĩa 6: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.

Định nghĩa 7: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

Định nghĩa 8: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình lập phương đều là hình vuông.

6. Hình chóp đều và hình chóp cụt

Định nghĩa 9: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét: Hình chóp đều có

1. Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2. Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

Định nghĩa 10: Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

Nhận xét: Hình chóp cụt đều có:

1. Hai đáy là hai đa giác đều và đồng dạng với nhau.

2 .Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm.

3. Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau.

KHOẢNG CÁCH​

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm [imath]O[/imath] và một đường thẳng [imath]a[/imath]. Trong [imath](O, a)[/imath] gọi [imath]H[/imath] là hình chiếu vuông góc của [imath]O[/imath] trên [imath]a[/imath]. Khi đó khoảng cách [imath]OH[/imath] được gọi là khoảng cách từ điểm [imath]O[/imath] đến [imath]a[/imath], kí hiệu [imath]d (O, a) = OH[/imath].



2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] và một điểm [imath]O[/imath], gọi [imath]H[/imath] là hình chiếu vuông góc của điểm [imath]O[/imath] trên mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath]. Khi đó khoảng cách [imath]OH[/imath] được gọi là khoảng cách từ điểm [imath]O[/imath] đến mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath], kí hiệu [imath]d (O,(\alpha)) = OH[/imath].






Chú ý: [imath]OH \le MO, \forall M \in (\alpha)[/imath].





3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath]. Khoảng cách giữa đường thẳng [imath]a[/imath] và mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] là khoảng cách từ một điểm bất kì của [imath]a[/imath] đến mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath], kí hiệu [imath]d(a,(\alpha))[/imath].






Chú ý: [imath]d (a,(\alpha)) = d (A,(\alpha)), \forall A \in a[/imath]





4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] và [imath](\beta)[/imath] song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] và [imath](\beta)[/imath].
[imath]d ((\alpha),(\beta)) = d (M,(\beta)) = d (N,(\alpha)), M \in (\alpha), N \in (\beta)[/imath]



5. Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa:
a. Đường thẳng [imath]\Delta[/imath] cắt hai đường thẳng chéo nhau [imath]a, b[/imath] và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath].
b. Nếu đường thẳng vuông góc chung [imath]\Delta[/imath] cắt hai đường chéo nhau [imath]a, b[/imath] lần lượt tại [imath]M, N[/imath] thì độ dài đoạn [imath]MN[/imath] gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath]