Ôn thi dh Bất đẳng thức lần cuối

[tiger3323551]

giá trị max mới khó min thi dễ mà:
[tex]A \ge sqrt{3}(x+y+z+t)=4sqrt{3}[/tex]

 

[cuphuc13]

Banj tiger oi giải cả bài luôn đi, giải rõ ràng tí .. kho hiểu quá

 

[tell_me_goobye]

E chả biết thi ĐH khó không Nhưng cũng post lên 1 số BĐT để tham khảo
3) Cho a, b, c > 0 và

Chứng minh rằng

bài này dễ

đặt x=1/a ,.......
\Rightarrowxyz=1
BDT [TEX]\Leftrightarrow 1 + \frac{3}{xy+yz+xz} \geq \frac{6}{x+y+z}[/TEX]

từ [TEX](x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+xz)[/TEX]
nên [TEX] 1+\frac{3}{xy+yz+xz} \geq 1+\frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

nên chỉ càn chứng minh

[TEX]1+ \frac{9}{(x+y+z)^2} \geq \frac{6}{x+y+z}[/TEX]
cái này là hằng đẳng thức
hoàn tất

 

[tiger3323551]

theo AM-GM :
[tex]x\sqrt{3+yz}=\frac{1}{2}2sqrt{x}sqrt{3x+xyz} \le \frac{1}{4}(4x+3x+xyz)[/tex]
tương tự những cái còn lại:
[tex]=>A \le \frac{7}{4}(x+y+z+t)+\frac{1}{4}(xyz+yzt+ztx+txy)=7+\frac{1}{4}(xyz+yzt+ztx+txy)[/tex]
ta chứng minh [tex]xyz+yzt+ztx+txy \le 4[/tex] đẳng thức [tex]x=y=z=t=1[/tex]
thật vậy:
[tex]xy(z+t)+zt(x+y) \le \frac{1}{4}(x+y)^2(z+t)+\frac{1}{4}(z+t)^2(x+y)[/tex]
từ đây có thê => dpcm => max =8

 

[vivietnam]

mình vẫn chưa hiểu
bạn tiger làm cụ thể phần tìm min hộ với
thank nhiều!!!!!!!!!!!!

 

[gaodenvang]

Giờ này mà còn nhét vào đầu cái gì nữa nghỉ ngơi đi thôi.

 

[huycuopbien123]

Thtt396

Cho x, y, z dương thoả [tex]x+y+z=3[/tex]. Tìm min
[tex]\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}[/tex]

 

[lamanhnt]

khổ nỗi năm nay thi đại học không vào bất đẳng thức.

 

[tell_me_goobye]

Cho x, y, z dương thoả [tex]x+y+z=3[/tex]. Tìm min
[tex]\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}[/tex]

BY CAuchy schwarz

[TEX]\sum \frac{x^2}{x+y^2} = \sum \frac{x^4}{x^3+x^2y^2} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^3 +\sum x^2y^2}[/TEX]

cần CM [TEX] 2(\sum x^2)^2 \geq 3(\sum x^2+\sum x^2y^2)[/TEX]
BIẾN ĐỔI p,q,r ta được

BDT trên [TEX]\Leftrightarrow 2(p^2 -2q)^2 \geq 3(p(p^2-3q)+3r+q^2-2pr)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2(9 - 2q)^2 \geq 3(27-9q+3r+q^2-6r) [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2(81-36q+4q^2) - 3(27-9q+3r+q^2-6r) \geq 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 81 - 45q+5q^2+9r \geq 0[/TEX]
theo BDT SCHUR [TEX] 9r \geq 4pq -p^3 =12q-27[/TEX]
nên VT [TEX]\geq 81-45q+5q^2+12q-27 =54-33q+5q^2 \geq0[/TEX]
hay [TEX](q-3)(5q-18) \geq 0 [/TEX]
cái này đúng theo BDT schur
HOÀN TẤT

 

[quyenuy0241]

Cho x, y, z dương thoả [tex]x+y+z=3[/tex]. Tìm min
[tex]\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}[/tex]

Cô si nguợc dấu ra liền

[TEX]\frac{x^2}{x+y^2}=\frac{x(x+y^2)-xy^2}{x+y^2}=x-\frac{xy^2}{x+y^2}\ge x-\frac{y\sqrt{x}}{2}[/TEX]

Các BDT khác tương tự

Cộng vào:

có [tex]A=x+y+z-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+y\sqrt{z}}{2} [/TEX]



DO [TEX]y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+y\sqrt{z} \le \sqrt{(xy+xz+zy)(x+y+z)} \le 3[/TEX]

Vậy [TEX]A \ge \frac{3}{2}[/TEX]

 

[maituanlinh5409]

troi oi nam nay thi dien woa......................................................

 

[asdasdasdsh]

Tiếp đi chứ bạn tiger ^^.......................aaaaaaaaaaa

 

[tiger3323551]

khó nhé:
cho các số thực dương x,y,z chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^2+xy}{5x^2+5y^2+2z^2}+\frac{y^2+yz}{5y^2+5z^2+2x^2}+\frac{z^2+zx}{5z^2+5x^2+2y^2} \le \frac{1}{2}[/tex]

 

[tiger3323551]

thêm 1 bài toán rất khó:
Cho x,y,z >0 thoả xy+yz+zx=1.Tìm min:
[tex]\frac{1}{sqrt{x^2+yz}}+\frac{1}{sqrt{y^2+xz}}[/tex][tex]+\frac{1}{sqrt{z^2+xy}}[/tex]

 

[bigbang195]

thêm 1 bài toán rất khó:
Cho x,y,z >0 thoả xy+yz+zx=1.Tìm min:
[tex]\frac{1}{sqrt{x^2+yz}}+\frac{1}{sqrt{y^2+xz}}[/tex][tex]+\frac{1}{sqrt{z^2+xy}}[/tex]

Dự đoán

.Sẽ chứng minh

Không mất tính tổng quát giả sử

. Khi đó sử dụng Holder ,ta có:

Bài toán đưa về chứng minh

Chuẩn hóa

. Khi đó BDT được viết lại thành

tương đương

ta lại có

,và

Phép chứng minh hoàn tất

 

[bigbang195]

khó nhé:
cho các số thực dương x,y,z chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^2+xy}{5x^2+5y^2+2z^2}+\frac{y^2+yz}{5y^2+5z^2+2x^2}+\frac{z^2+zx}{5z^2+5x^2+2y^2} \le \frac{1}{2}[/tex]

VT-VP

đến đây đánh giá dễ dàng

 

[bigbang195]

khó nhé:
cho các số thực dương x,y,z chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^2+xy}{5x^2+5y^2+2z^2}+\frac{y^2+yz}{5y^2+5z^2+2x^2}+\frac{z^2+zx}{5z^2+5x^2+2y^2} \le \frac{1}{2}[/tex]

Ta có

Mặt khác theo Cauhy-Schwarz ta lại có:

do vậy

mặt khác do

và

do đó

Ta chỉ cần chứng minh

Lại theo Cauchy-Schwarz ta có

ta lại có

vậy ta có thể viết lại thành:

với

để ý rằng

do đó áp dụng đẳng thức với

ta được

Trong đó

chú ý

ở đây khác

ở đầu bài ==!

Mặt khác

BDT được viết lại là

, và nó tương đương

do

nên bdt tương đương với

hay là

Nếu

thì BDT coi như xong vì

.Xét TH ngược lại

(dễ cm nhờ giả thiết )

Đặt

,,khi đó áp dụng Schur từ khai triển:

, suy ra được

Từ đó:

BDT hoàn tất dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

 

[bigbang195]

1 cách khác để chứng minh

ko mất tính tổng quát giả sử

BDT tương đương

Có thể giải bằng AM_GM như sau:

giải sử b nằm giữa a và c thì

nên:

theo AM-GM

Bài toán được chứng minh xong