Ôn thi dh Bất đẳng thức lần cuối

[tiger3323551]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

còn 3 ngày nữa là bắt đầu tuyên sinh 2010 vì vậy mình lâp toppic này là muốn các bạn thư giãn đầu óc bằng mấy bài bdt này :
bắt đầu = 1 bài đơn giản:
Cho 3 số dương a,b,c CMR
[tex]\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} \ge a+b+c[/tex]

 

[ivory]

còn 3 ngày nữa là bắt đầu tuyên sinh 2010 vì vậy mình lâp toppic này là muốn các bạn thư giãn đầu óc bằng mấy bài bdt này :
bắt đầu = 1 bài đơn giản:
Cho 3 số dương a,b,c CMR
[tex]\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} \ge a+b+c[/tex]

[TEX] a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c)[/TEX]
[TEX]a^4+b^4+c^4\ge (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\ge abc(a+b+c)[/TEX]

 

[tiger3323551]

Nhận xét thêm nếu đề bài cho abc=1 thì bài toán trở thành
[tex]a^4+b^4+c^4 \ge a+b+c[/tex]
nếu đề bài cho a+b+c=1 thì bài toán trở thành
[tex]a^4+b^4+c^4 \ge abc[/tex]
tiếp
cho các số thực dương có tổng [tex]x+y+z=1[/tex]
CMR:
[tex]sqrt{4x+1}+sqrt{4y+1}+sqrt{4z+1} \le sqrt{21}[/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương ta có
[TEX]\sqrt{4x+1}=\sqrt{\frac{3}{7}}.sqrt{(4x+1).\frac{7}{3}}\le\ \sqrt{\frac{3}{7}}.\frac{4x+1+\frac{7}{3}}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]\sqrt{4x+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4x+\frac{10}{3})[/TEX] (1)
Tương tự ta có [TEX]\sqrt{4y+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4y+\frac{10}{3})[/TEX] (2)
[TEX]\sqrt{4z+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4z+\frac{10}{3})[/TEX] (3)
mà a+b+c=1
từ (1);(2);(3)đpcm

^^______________________________________________________^^

 

[tiger3323551]

Cách khác [tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac [/tex]
[tex]=>(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2) [/tex]
[tex]VP \le sqrt{3(3+4(x+y+z))} =sqrt{21}[/tex]
tiếp cho [tex]a,b,c \ge 0[/tex]
CMR:
[tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc} \le \frac{1}{abc}[/tex]

 

[handsomeboy_2309]

[tex]\ a^3 + b^3 \geq ab(a + b) => a^3 + b^3 + abc \geq ab(a + b +c) => \frac{1}{a^3 + b^3 + abc} \leq \frac{1}{ab(a + b + c}[/tex]
Tương tự vs 2 cái kia, sau đó cộng theo vế ta được đpcm

 

[ivory]

Cách khác [tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac [/tex]
[tex]=>(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2) [/tex]
[tex]VP \le sqrt{3(3+4(x+y+z))} =sqrt{21}[/tex]
tiếp cho [tex]a,b,c \ge 0[/tex]
CMR:
[tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc} \le \frac{1}{abc}[/tex]

bài1: x,y thuộc R và [TEX]2(x^2+y^2)=xy+1[/TEX], tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất:
[TEX]A=\frac{x^4+y^4}{2xy+1}.[/TEX]
bài2: x,y thuộc R và [TEX]x^2+y^2-xy=1[/TEX], tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất:
[TEX]B=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}.[/TEX]
bài3: cho x,y,z thuộc R thoả mãn [TEX]\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{xyz}}[/TEX], tim giá trị lớn nhất:
[TEX]C= \frac{2\sqrt{x}}{x+1}+\frac{2\sqrt{y}}{y+1}+\frac{z-1}{z+1}.[/TEX]
mình thấy các bài này tương đối phù hợp thi đại học, các bạn thử sức.
nếu chưa làm được thì không sao, thời gian nay nên thư giãn, cười vui.

 

[tiger3323551]

2/[tex]x^2+y^2 \ge 2|x||y| =>\frac{-1}{3} \le xy \le 1[/tex]
[tex]B=\frac{(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1}{x^2+y^2+1}[/tex]
[tex]<=>\frac{(1+xy)^2-2x^2y^2+1}{2+xy}[/tex]
đặt [tex]t=xy ;t \in [\frac{-1}{3},1][/tex]
Khảo sát hàm.Bài 1 chắc tương tự
các cậu thử làm bài này trong đề cấu trúc
[tex] a^2+b^2+c^2=1 ;a,b,c>0[/tex]CMR:
[tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2} \ge \frac{3sqrt{3}}{2}[/tex]

 

[handsomeboy_2309]

hihi, bài này rất dễ: [tex]\ b^2 + c^2 = 1 - a^2 => \frac{a}{b^2 + c^2} = \frac{a^2}{a(1 - a^2)}[/tex]
Tới đây ta có: [tex]\sqrt[3]{2a^2(1 - a^2)(1 - a^2)} \leq \frac{2a^2 + 2 - 2a^2}{3}[/tex]
=>[tex]\sqrt[3]{2a^2(1 - a^2)(1 - a^2) \leq \frac{2}{3}[/tex]
=>[tex]\ 2a^2(1 - a^2)^2 \leq \frac{8}{27}[/tex]
=>[tex]\ a(1 - a^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}[/tex]
Đến đây có lẽ là ổn.

 

[handsomeboy_2309]

2/[tex]x^2+y^2 \ge 2|x||y| =>\frac{-1}{3} \le xy \le 1[/tex]
[tex]B=\frac{(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1}{x^2+y^2+1}[/tex]
[tex]<=>\frac{(1+xy)^2-2x^2y^2+1}{2+xy}[/tex]
đặt [tex]t=xy ;t \in [\frac{-1}{3},1][/tex]
Khảo sát hàm.Bài 1 chắc tương tự
các cậu thử làm bài này trong đề cấu trúc
[tex] a^2+b^2+c^2=1 ;a,b,c>0[/tex]CMR:
[tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2} \ge \frac{3sqrt{3}}{2}[/tex]

SAI. [tex]\frac{-1}{5} \leq xy \leq\frac{1}{3}[/tex] mới đúng.

 

[vodichhocmai]

cho các số thực dương có tổng [tex]x+y+z=1[/tex]
CMR:
[tex]A:=sqrt{4x+1}+sqrt{4y+1}+sqrt{4z+1} \le sqrt{21}[/tex]

[TEX]\[\(4x+1\)+\(4y+1\)+\(4z+1\)\]\(1+1+1\)\ge A^2[/TEX]

[TEX]Done!!\ \ [/TEX]

 

[tiger3323551]

Mình giải đúng rồi mà bạn hansomeboy sai chỗ nào đâu...............................
cho tam giác có chu vi=1.biết các biểu thức trong căn đều có nghĩa .Tìm min
[tex]P=sqrt{a^2+b^2-c^2}+\sqrt{b^2+c^2-a^2}+\sqrt{c^2+a^2-b^2}[/tex]

 

[dandoh221]

Mình giải đúng rồi mà bạn hansomeboy sai chỗ nào đâu...............................
cho tam giác có chu vi=1.biết các biểu thức trong căn đều có nghĩa .Tìm min
[tex]P=sqrt{a^2+b^2-c^2}+\sqrt{b^2+c^2-a^2}+\sqrt{c^2+a^2-b^2}[/tex]

Em tìm đc max thôi còn min thì :khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163):

 

[handsomeboy_2309]

đk của xy bị sai bạn ạ. Bạn coi lại đi. Vẫn như vậy mình làm cho xem :|

 

[trydan]

Mình giải đúng rồi mà bạn hansomeboy sai chỗ nào đâu...............................
cho tam giác có chu vi=1.biết các biểu thức trong căn đều có nghĩa .Tìm min
[tex]P=\sqrt{a^2+b^2-c^2}+\sqrt{b^2+c^2-a^2}+\sqrt{c^2+a^2-b^2}[/tex]

Lớp 8 làm bài nãy cũng được anh ah`.
Bài này e nghĩ là tìm MAX.
Do

Áp Dụng Bất Đẳng Quen Thuộc

Ta được

Vậy

 

[dandoh221]

Lớp 8 làm bài nãy cũng được anh ah`.
Bài này e nghĩ là tìm MAX.
Do

Áp Dụng Bất Đẳng Quen Thuộc

Ta được

Vậy

trong căn là a^2 chứ đâu phải a .:khi (54)::khi (54)::khi (54):

 

[tiger3323551]

bây h làm ở mức độ khó nhé:cho 4 số thực không âm thỏa mãn [tex]x+y+z+t=4[/tex]
tìm max và min
[tex]A=x\sqrt{3+yz}+y\sqrt{3+zt}+z\sqrt{3+tx}+t\sqrt{3+xy}[/tex]

 

[trydan]

E chả biết thi ĐH khó không Nhưng cũng post lên 1 số BĐT để tham khảo
1) Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng

2) Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng

3) Cho a, b, c > 0 và

Chứng minh rằng

 

[ngojsaoleloj8814974]

E chả biết thi ĐH khó không Nhưng cũng post lên 1 số BĐT để tham khảo

2) Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng

CM:
[TEX] \sqrt{2}(ab+bc+ca) \leq \sqrt{a^4+b^4+c^4+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) +2abc(a+b+c)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4abc(a+b+c) \leq a^4+b^4+c^4+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) +2abc(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^4+b^4+c^4+a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2-2abc(a+b+c) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a^2-bc)^2+(b^2-ac)^2+(c^2-ab)^2 \geq 0 (BDTD)[/TEX]
CM:
[TEX]\sqrt[]{{a^4+b^4+c^4+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) +2abc(a+b+c)}} \leq \sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow {a^4+b^4+c^4+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) +2abc(a+b+c)} \leq 2a^4+2b^4+2c^4+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^4+b^4+c^4+a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2-2abc(a+b+c) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a^2-bc)^2+(b^2-ac)^2+(c^2-ab)^2 \geq 0 (BDTD)[/TEX]

 

[dandoh221]

bây h làm ở mức độ khó nhé:cho 4 số thực không âm thỏa mãn [tex]x+y+z+t=4[/tex]
tìm max và min
[tex]A=x\sqrt{3+yz}+y\sqrt{3+zt}+z\sqrt{3+tx}+t\sqrt{3+xy}[/tex]

Em tìm được max bằng AM-GM rồi còn min thì nhờ anh

[TEX]VT=\frac{1}{2}.x\sqrt{4(3+yz)} \le x(12+4yz) \le ....[/TEX]