[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Hello các bạn nhé, sau hai ngày, thì bài viết thứ 2 của mình cũng sẽ quay trở lại. Và hôm nay, mình sẽ giới thiệu đến các bạn một chủ đề tiếp theo, đó chính là
Ví dụ: [imath]|a| + |b| \geq |a+b| ; x + y \geq 2\sqrt{xy}[/imath]
- Bất đẳng thức có thể đúng với mọi ẩn, hoặc trong một số trường hợp nhất định, được xác định trong quá trình làm bài.
- Có một số bất đẳng thức quen thuộc, các bạn có thể tìm hiểu như: Bất đẳng thức Cauchy , AM - GM , Mincopxki , Holder , Schur , .....
Ví dụ: Bất phương trình [imath]x >5[/imath] thì [imath]x= 6[/imath] là nghiệm vì %6>5% là bất phương trình đúng.
- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.
Ví dụ: Bất phương trình [imath]x^2 < 1[/imath] có tập nghiệm là [imath]S = \left ( -1 ; 1 \right)[/imath]
Ví dụ: [imath]5x + 3 > 0 ; 10y \leq 0[/imath]
Ví dụ: [imath]5x + 3 > 0 \Leftrightarrow 5x > -3[/imath]
- Quy tắc nhân với một số : Khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với 1 số thì
+ Nếu số dương, giữ nguyên dấu bất đẳng thức
+ Nếu số âm, đổi chiều dấu bất đẳng thức (nếu có dấu bằng, giữ dấu bằng)
+ Nếu số đó có thể bằng 0, vẫn áp dụng 2 quy tắc trên và thêm dấu bằng [imath]( > \text{thành } \geq )[/imath] nếu chưa có.
- Một số quy tắc chưa đề cập trong sgk chương này:
+ Quy tắc cộng 2 bất phương trình: chỉ được phép cộng 2 bất phương trình cùng chiều (chưa kể dấu bằng) , được một bất phương trình mới cùng chiều 2 bất phương trình cũ.
Ví dụ: [imath]A> B ; C> D \Rightarrow A + C > B+D[/imath] hoặc [imath]A \leq B ; C < D \Rightarrow A + C < B+D[/imath]
Dấu bằng chỉ xuất hiện khi cả 2 bất phương trình cũ đều có dấu bằng.
+ Khi trừ 2 bất phương trình, thực chất là quá trình nhân [imath](-1)[/imath] với bất phương trình thứ 2, rồi cộng với bất phương trình thứ 1, nên các bạn tránh sai lần về chiều dấu của bất phương trình.
Ví dụ: [imath]a + b \geq c+d ; a \geq c \Rightarrow b \geq d[/imath] là sai.
[imath]a + b \geq c+d ; a \leq c \Rightarrow b \geq d[/imath] là đúng .
[imath]\Leftrightarrow ax > -b[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x > \dfrac{-b}{a}[/imath] (nếu [imath]a> 0[/imath]) hoặc [imath]x < \dfrac{-b}{a}[/imath] (nếu [imath]a<0[/imath])
Giải:
Vì [imath]10 > 0[/imath], ta nhân cả 2 vế bất phương trình với [imath]\dfrac{1}{10}[/imath] (hay chính là chia cả 2 vế với 10) ta được [imath]x > 0[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x>0[/imath]
Ví dụ 2: Giải bất phương trình [imath]9x + 3 \leq 0[/imath]
Giải: Bất phương trình đề bài tương đương:
[imath]\Leftrightarrow 9x \leq - 3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x \leq \dfrac{-1}{3}[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x \leq \dfrac{-1}{3}[/imath]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình [imath]4x + 6 \geq 2x +5[/imath]
Giải: Bất phương trình đề bài tương đương:
[imath]\Leftrightarrow 4x -2x \geq 5-6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2x \geq -1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x \geq \dfrac{-1}{2}[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x \geq \dfrac{-1}{2}[/imath]
Ví dụ 4: Giải bất phương trình [imath](x+2)( x+3) < x^2 + 8x+ 9[/imath]
Giải: Bất phương trình đề bài tương đương:
[imath]\Leftrightarrow x^2 + 5x+ 6 < x^2 + 8x + 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3x > -3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x>-1[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x>-1[/imath]
Bài tập tự giải:
a) [imath]3x + 6 \leq 4(5x+3)[/imath]
b) [imath]6x + 9 \geq 2(3x+5)[/imath]
c) [imath](5x+2)(4x+3) > (10x+1)(2x+5)[/imath]
d) [imath]\dfrac{3x+1}{6x+5} < \dfrac{x+4}{2x+5}[/imath]
Bài toán có dạng [imath]A(x) B(x) C(x) .. \geq 0[/imath] trong đó [imath]A(x) , B(x) , C(x) ,..[/imath]là các đa thức bậc nhất dạng [imath]ax+b[/imath]
Cách làm dạng này theo cách lớp THCS mình sẽ trình bày là cách xét trường hợp xảy ra.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình [imath](x+2)(x+3) \geq 0[/imath]
Giải: Ta thấy tích 2 số không âm thì 2 số cùng dấu.
TH1: [imath]x+ 3 > x+ 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2[/imath]
TH2: [imath]x+2 < x+3 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq -3[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với [imath]x \geq -2[/imath] hoặc [imath]x \leq -3[/imath]
Ví dụ 2: Giải bất phương trình [imath](2x+5)(4x+3) < 0[/imath]
Giải: Ta có một bước cũng tương đối quan trọng, chính là chia để hệ số bậc nhất các đa thức bằng 1 (dễ xử lý hơn)
Bất phương trình tương đương : [imath](x+\dfrac{5}{2} )(x+\dfrac{3}{4}) < 0[/imath]
Tích 2 số nhỏ hơn 0 khi 2 số trái dấu.
TH1: [imath]x + \dfrac{5}{2} > 0; x + \dfrac{3}{4} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{-5}{2} < x< \dfrac{-3}{4}[/imath]
TH2: [imath]x + \dfrac{5}{2} < 0; x + \dfrac{3}{4} > 0 \Leftrightarrow[/imath] Vô lý .
Vậy bất phương trình đúng với [imath]\dfrac{-5}{2} < x< \dfrac{-3}{4}[/imath]
Nhận xét: trong trường hợp 2 đa thức trái dấu, khi đưa về dạng này, sẽ hay có 1 trường hợp bị loại. Trong bài trên ta thấy [imath]x+\dfrac{5}{2} > x+ \dfrac{3}{4}[/imath] mà 2 số trái dấu nên số lớn hơn phải dương, số nhỏ hơn phải âm (loại trường hợp 2, trường hợp 1 luôn thỏa mãn)
Từ 2 ví dụ trên, ta đưa ra được cách làm tổng quát của chúng.
Dễ thấy, ta luôn chia để đưa hệ số bậc nhất của các đa thức bằng 1 (nhớ chú ý chia số âm phải đổi chiều bất phương trình) . Xét bất phương trình
BPT1: [imath](x+\alpha) (x+\beta) > 0[/imath] với [imath](\alpha > \beta) \Leftrightarrow x > -\beta[/imath] hoặc [imath]x < - \alpha[/imath]
BPT2: [imath](x+\alpha)(x+\beta) <0[/imath] với [imath](\alpha >\beta) \Leftrightarrow -\alpha < x < \beta[/imath]
Dấu bằng tự thêm tương ứng nhé.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình [imath](x+3)(4x+6)(5x+20) > 0[/imath]
Giải:
Ta biến đổi bất phương trình: [imath](x+3)(x+\dfrac{3}{2}) (x+4 ) > 0[/imath]
Nhận thấy tích 3 số dương khi và chỉ khi , trong 3 số có 3 số dương hoặc 1 số dương, và 2 số âm.
Cùng với nhận xét tương tự ví dụ 2 ta có: [imath]x+ 4 > x+ 3 > x+\dfrac{3}{2}[/imath]
TH1: [imath]x+4 > x+ 3> x+\dfrac{3}{2} > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{-3}{2}[/imath]
TH2: [imath]x+4 > 0 > x+3 > x+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow -4 < x< -3[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với [imath]x > \dfrac{-3}{2}[/imath] hoặc [imath]-4 < x< -3[/imath]
Bài tập tự luyện
a) [imath](10x+6)(4x+3) \geq 0[/imath]
b) [imath](-5x+1)(-4x+3) \leq 0[/imath]
c) [imath](x+1)^2 (- x+2) < 0[/imath]
d) [imath](x+5)^3 > 0[/imath]
f) [imath](x+3)(5x+4)(-2x+5) \geq 0[/imath]
Mong rằng qua bài viết này, các bạn có thể hiểu thêm kiến thức về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn. Các bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức thú vị trong các box Toán nhé. Mình xin cảm ơn các bạn đã đọc bài.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. Lý thuyết
1. Bất đẳng thức là gì ?
- Bất đẳng thức là một hệ thức có dạng [imath]A > B; A< B ; A\geq B ; \text{hoặc } A \leq B[/imath]Ví dụ: [imath]|a| + |b| \geq |a+b| ; x + y \geq 2\sqrt{xy}[/imath]
- Bất đẳng thức có thể đúng với mọi ẩn, hoặc trong một số trường hợp nhất định, được xác định trong quá trình làm bài.
- Có một số bất đẳng thức quen thuộc, các bạn có thể tìm hiểu như: Bất đẳng thức Cauchy , AM - GM , Mincopxki , Holder , Schur , .....
2. Tập nghiệm của bất phương trình
- Nghiệm của bất phương trình là giá trị để khi thay vào bất phương trình cho ta một bất đẳng thức đúng:Ví dụ: Bất phương trình [imath]x >5[/imath] thì [imath]x= 6[/imath] là nghiệm vì %6>5% là bất phương trình đúng.
- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.
Ví dụ: Bất phương trình [imath]x^2 < 1[/imath] có tập nghiệm là [imath]S = \left ( -1 ; 1 \right)[/imath]
3. Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn
- Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một bất phương trình có dạng [imath]ax + b > 0[/imath] hoặc ( [imath]< ; \geq ; \leq[/imath] ) trong đó [imath]a,b[/imath] là số đã cho, [imath]a\ne 0[/imath].Ví dụ: [imath]5x + 3 > 0 ; 10y \leq 0[/imath]
4. Các quy tắc biến đổi bất phương trình bậc nhất 1 ẩn
- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này của bất phương trình sang vế kia, ta cần đổi dấu hạng tử đó.Ví dụ: [imath]5x + 3 > 0 \Leftrightarrow 5x > -3[/imath]
- Quy tắc nhân với một số : Khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với 1 số thì
+ Nếu số dương, giữ nguyên dấu bất đẳng thức
+ Nếu số âm, đổi chiều dấu bất đẳng thức (nếu có dấu bằng, giữ dấu bằng)
+ Nếu số đó có thể bằng 0, vẫn áp dụng 2 quy tắc trên và thêm dấu bằng [imath]( > \text{thành } \geq )[/imath] nếu chưa có.
- Một số quy tắc chưa đề cập trong sgk chương này:
+ Quy tắc cộng 2 bất phương trình: chỉ được phép cộng 2 bất phương trình cùng chiều (chưa kể dấu bằng) , được một bất phương trình mới cùng chiều 2 bất phương trình cũ.
Ví dụ: [imath]A> B ; C> D \Rightarrow A + C > B+D[/imath] hoặc [imath]A \leq B ; C < D \Rightarrow A + C < B+D[/imath]
Dấu bằng chỉ xuất hiện khi cả 2 bất phương trình cũ đều có dấu bằng.
+ Khi trừ 2 bất phương trình, thực chất là quá trình nhân [imath](-1)[/imath] với bất phương trình thứ 2, rồi cộng với bất phương trình thứ 1, nên các bạn tránh sai lần về chiều dấu của bất phương trình.
Ví dụ: [imath]a + b \geq c+d ; a \geq c \Rightarrow b \geq d[/imath] là sai.
[imath]a + b \geq c+d ; a \leq c \Rightarrow b \geq d[/imath] là đúng .
5. Cách giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn
- Với bất phương trình [imath]ax + b > 0 (a\ne0 )[/imath] ta có cách giải chung như sau:[imath]\Leftrightarrow ax > -b[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x > \dfrac{-b}{a}[/imath] (nếu [imath]a> 0[/imath]) hoặc [imath]x < \dfrac{-b}{a}[/imath] (nếu [imath]a<0[/imath])
B. Bài tập
Dạng 1: Bất phương trình đưa về dạng bất nhất 1 ẩn.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: [imath]10x > 0[/imath]Giải:
Vì [imath]10 > 0[/imath], ta nhân cả 2 vế bất phương trình với [imath]\dfrac{1}{10}[/imath] (hay chính là chia cả 2 vế với 10) ta được [imath]x > 0[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x>0[/imath]
Ví dụ 2: Giải bất phương trình [imath]9x + 3 \leq 0[/imath]
Giải: Bất phương trình đề bài tương đương:
[imath]\Leftrightarrow 9x \leq - 3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x \leq \dfrac{-1}{3}[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x \leq \dfrac{-1}{3}[/imath]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình [imath]4x + 6 \geq 2x +5[/imath]
Giải: Bất phương trình đề bài tương đương:
[imath]\Leftrightarrow 4x -2x \geq 5-6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2x \geq -1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x \geq \dfrac{-1}{2}[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x \geq \dfrac{-1}{2}[/imath]
Ví dụ 4: Giải bất phương trình [imath](x+2)( x+3) < x^2 + 8x+ 9[/imath]
Giải: Bất phương trình đề bài tương đương:
[imath]\Leftrightarrow x^2 + 5x+ 6 < x^2 + 8x + 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3x > -3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x>-1[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với mọi [imath]x>-1[/imath]
Bài tập tự giải:
a) [imath]3x + 6 \leq 4(5x+3)[/imath]
b) [imath]6x + 9 \geq 2(3x+5)[/imath]
c) [imath](5x+2)(4x+3) > (10x+1)(2x+5)[/imath]
d) [imath]\dfrac{3x+1}{6x+5} < \dfrac{x+4}{2x+5}[/imath]
Dạng 2: Tích các đa thức bậc nhất (hay còn gọi là nhị thức bậc nhất)
Dạng toán này bạn sẽ được học kĩ càng trong chương trình toán 10, ở đây mình sẽ nói qua về tích 2 , 3 đa thức bậc nhất.Bài toán có dạng [imath]A(x) B(x) C(x) .. \geq 0[/imath] trong đó [imath]A(x) , B(x) , C(x) ,..[/imath]là các đa thức bậc nhất dạng [imath]ax+b[/imath]
Cách làm dạng này theo cách lớp THCS mình sẽ trình bày là cách xét trường hợp xảy ra.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình [imath](x+2)(x+3) \geq 0[/imath]
Giải: Ta thấy tích 2 số không âm thì 2 số cùng dấu.
TH1: [imath]x+ 3 > x+ 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2[/imath]
TH2: [imath]x+2 < x+3 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq -3[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với [imath]x \geq -2[/imath] hoặc [imath]x \leq -3[/imath]
Ví dụ 2: Giải bất phương trình [imath](2x+5)(4x+3) < 0[/imath]
Giải: Ta có một bước cũng tương đối quan trọng, chính là chia để hệ số bậc nhất các đa thức bằng 1 (dễ xử lý hơn)
Bất phương trình tương đương : [imath](x+\dfrac{5}{2} )(x+\dfrac{3}{4}) < 0[/imath]
Tích 2 số nhỏ hơn 0 khi 2 số trái dấu.
TH1: [imath]x + \dfrac{5}{2} > 0; x + \dfrac{3}{4} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{-5}{2} < x< \dfrac{-3}{4}[/imath]
TH2: [imath]x + \dfrac{5}{2} < 0; x + \dfrac{3}{4} > 0 \Leftrightarrow[/imath] Vô lý .
Vậy bất phương trình đúng với [imath]\dfrac{-5}{2} < x< \dfrac{-3}{4}[/imath]
Nhận xét: trong trường hợp 2 đa thức trái dấu, khi đưa về dạng này, sẽ hay có 1 trường hợp bị loại. Trong bài trên ta thấy [imath]x+\dfrac{5}{2} > x+ \dfrac{3}{4}[/imath] mà 2 số trái dấu nên số lớn hơn phải dương, số nhỏ hơn phải âm (loại trường hợp 2, trường hợp 1 luôn thỏa mãn)
Từ 2 ví dụ trên, ta đưa ra được cách làm tổng quát của chúng.
Dễ thấy, ta luôn chia để đưa hệ số bậc nhất của các đa thức bằng 1 (nhớ chú ý chia số âm phải đổi chiều bất phương trình) . Xét bất phương trình
BPT1: [imath](x+\alpha) (x+\beta) > 0[/imath] với [imath](\alpha > \beta) \Leftrightarrow x > -\beta[/imath] hoặc [imath]x < - \alpha[/imath]
BPT2: [imath](x+\alpha)(x+\beta) <0[/imath] với [imath](\alpha >\beta) \Leftrightarrow -\alpha < x < \beta[/imath]
Dấu bằng tự thêm tương ứng nhé.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình [imath](x+3)(4x+6)(5x+20) > 0[/imath]
Giải:
Ta biến đổi bất phương trình: [imath](x+3)(x+\dfrac{3}{2}) (x+4 ) > 0[/imath]
Nhận thấy tích 3 số dương khi và chỉ khi , trong 3 số có 3 số dương hoặc 1 số dương, và 2 số âm.
Cùng với nhận xét tương tự ví dụ 2 ta có: [imath]x+ 4 > x+ 3 > x+\dfrac{3}{2}[/imath]
TH1: [imath]x+4 > x+ 3> x+\dfrac{3}{2} > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{-3}{2}[/imath]
TH2: [imath]x+4 > 0 > x+3 > x+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow -4 < x< -3[/imath]
Vậy bất phương trình đúng với [imath]x > \dfrac{-3}{2}[/imath] hoặc [imath]-4 < x< -3[/imath]
Bài tập tự luyện
a) [imath](10x+6)(4x+3) \geq 0[/imath]
b) [imath](-5x+1)(-4x+3) \leq 0[/imath]
c) [imath](x+1)^2 (- x+2) < 0[/imath]
d) [imath](x+5)^3 > 0[/imath]
f) [imath](x+3)(5x+4)(-2x+5) \geq 0[/imath]
Mong rằng qua bài viết này, các bạn có thể hiểu thêm kiến thức về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn. Các bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức thú vị trong các box Toán nhé. Mình xin cảm ơn các bạn đã đọc bài.
