Toán 12 Ôn tập: các dạng tìm hệ số khai triển Nhị thức Newton

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 31 Tháng ba 2019.

Lượt xem: 107

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cố vấn Toán Cu li diễn đàn Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    3,189
    Điểm thành tích:
    476
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    *Công thức khai triển Newton:
    [tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^k.b^{n-k}[/tex]
    Với a và b là đa thức của x hoặc hằng số.

    Dạng 1 ( dễ nhất, thường gặp) : Tìm hệ số của [TEX]x^m[/TEX] theo yêu cầu trong khai triển của [TEX](a+b)^n[/TEX]

    Ví dụ: tìm hệ số của [TEX]x^4[/TEX] trong khai triển của [TEX](x^2+1)^{10}[/TEX]

    Lời giải: theo công thức khai triển:

    [tex](x^2+1)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k}(x^2)^k=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k}(x^{2k}[/tex]

    [TEX]x^4[/TEX] tương ứng với k=2. Vậy hệ số cần tìm là [TEX]C_{10}^{2}[/TEX]

    Dạng 2 : Tìm hệ số của [TEX]x^m[/TEX] theo yêu cầu trong khai triển của [TEX](a+b+c)^n[/TEX]

    Dạng này phức tạp hơn vì khi khai triển ra xong thì từng số hạng trong đó lại dùng đến khai triển nhị thức tiếp

    Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng chứa [TEX]x^6[/TEX] trong khai triển của [TEX](3x^2+x+1)^9[/TEX]

    Lời giải: theo công thức khai triển:

    [tex](3x^2+x+1)^9=\sum_{k=0}^{9}(3x^2+x)^k.1^{9-k}=\sum_{k=0}^{9}(3x^2+x)^k[/tex]

    Đến đây: bản thân mỗi số hạng [TEX](3x^2+x)^k[/TEX] ta lại cần dùng khai triển Newton để phá tung nó ra.
    Vậy ta sẽ được :
    [tex]\sum_{k=0}^{9}C_{9}^{k}(3x^2+x)^k=\sum_{k=0}^{9}.C_{9}^{k}.\sum_{i=0}^{k}C_{k}^{i}.(3x^2)^i.x^{k-i}=\sum_{k=0}^{9}.C_{9}^{k}.\sum_{i=0}^{k}C_{k}^{i}x^{i+k}.3^i[/tex]

    Số hạng chứa [TEX]x^6[/TEX] thì [TEX]i+k=6[/TEX] và [TEX]i \leq k[/TEX], do đó ta có các cặp (i;k) thỏa mãn là : (0;6),(1;5) (2;4) (3;3)
    Vậy ta có hệ số cần tìm là ( trường hợp ra nhiều cặp giá trị thì hệ số sẽ là cộng dồn tất cả vào) :

    [tex]3^0.C_{9}^{6}.C_{6}^{0}+3^1.C_{9}^{5}.C_{5}^{1}+3^2.C_{9}^{4}.C_{4}^{2}+3^3.C_{9}^{3}.C_{3}^{3}=11046[/tex]

    Dạng 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức.

    Ví dụ: tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển của : [TEX](2x+1)^{13}[/TEX].

    Lời giải: [tex](2x+1)^{13}=\sum_{k=0}^{13}C_{13}^{k}.2^k.x^k[/tex]

    Vậy các hệ số [TEX]a_k[/TEX] của từng số hạng sẽ là : [TEX]C_{13}^{k}.2^k[/TEX] (với k=0,1,2.....13)

    Ta đang nhắm đến hệ số lớn nhất, vậy ta sẽ giải bpt: [TEX]a_k \leq a_{k+1}[/TEX]

    <=>[tex]C_{13}^{k}.2^k\leq C_{13}^{k+1}2^{k+1}<=>\frac{13!}{k!.(13-k)!}.2^k\leq \frac{13!}{(k+1)!.(12-k)!}.2^k.2<=>\frac{k+1}{13-k}\leq 2<=>k\leq \frac{25}{3}[/tex]

    Do k nguyên, nên với mọi [TEX]k\leq 8[/TEX] (theo bpt giải ở trên) thì ta luôn có [TEX]a_k \leq a_{k+1}[/TEX]
    Như vậy trong khoảng k chạy từ 0 đến 8, thì ta có: [TEX]a_0<a_1<a_2<.....<a_8[/TEX]
    Vậy [TEX]a_8[/TEX] là hệ số lớn nhất trong khoảng này

    Tương tự ta lại cần tiếp tục xem [TEX]a_k>a_{k+1}[/TEX]( tức hệ số của số hạng sau nhỏ hơn hệ số của số hạng trước) khi nào.

    Thì rất đơn giản ta đảo chiều của kết quả vừa giải ở trên được là xong: [TEX]k\geq \frac{25}{3}[/TEX]
    Vậy với k từ 9 đến 13 thì ta luôn có [TEX]a_9>a_{10}>....>a_{13}[/TEX]

    Vậy trong khoảng từ 9 đến 13 thì [TEX]a_9[/TEX] có hệ số lớn nhất
    Do vậy ta đã chia làm 2 khoảng, mỗi khoảng ta đã chọn được 1 giá trị lớn nhất, giờ chỉ cần so sánh [TEX]a_8[/TEX] với [TEX]a_9[/TEX] bằng Casio là được.

    Ta tính được [TEX]a_8=329472[/TEX], [TEX]a_9=366080[/TEX] vậy hệ số lớn nhất là [TEX]a_9[/TEX]

    Đây là cách giải tay, còn quan sát ta sẽ thấy giải mẹo bằng Casio, tuy nhiên hệ số phải bé bé thì máy nó tính mới nhanh. Và do mình không có casio VN570plus nên đây là giả lập của nó. Có lẽ cũng tương tự như thực tế.
    Đã biết [TEX]C_{13}^{k}.2^k[/TEX] là hệ số phải không nào? Vậy ta sử dụng mode 7 ( table) để liệt kê toàn bộ dãy ra, đến đâu lớn nhất thì lấy.
    upload_2019-3-31_10-4-31.png
    Nhập hàm tương ứng. Xong "=" và "=" , vì không sử dụng đến hàm g(x) nên bỏ qua không nhập
    Start thì chọn 0, end thì chọn 13 step là 1, vì k chạy từ 0 đến 13. Rồi nhận được dãy hệ số:
    upload_2019-3-31_10-5-5.png

    Khi có kết quả ta đã nhận ra ngay k=9 cho hệ số lớn nhất, hoàn toàn đúng với tính toán
     

    Các file đính kèm:

    thaohien8c, Loi Choihip2608 thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->