Toán 11 NT newton

[hiennhitruong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức [tex][\frac{1}{x}-(x+x^{2})]^{n}[/tex] theo công thức nhị thức Newton biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn [tex]C_{n}^{3} + 2n=A_{n+1}^{2}[/tex] ( [tex]C_{n}^{k}, A_{n}^{k}[/tex] tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. -98
B. 98
C. -96
D. 96

 

[minhhoang_vip]

$\left [ \dfrac{1}{x} - \left ( x+x^2 \right ) \right ] ^n = \left [ x^{-1} - \left ( x+x^2 \right ) \right ] ^n$

$C^3_n + 2n= A^2_{n+1} \ (*)$
Điều kiện: $
\left\{\begin{matrix}
n \geq 3 \\ n+1 \geq 2
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow .....
\Leftrightarrow n \geq 3
$
$(*) \Leftrightarrow \dfrac{n!}{3! (n-3)!} +2n = \dfrac{(n+1)!}{(n+1-2)!} \\
\Leftrightarrow \dfrac{n!}{3! (n-3)!} +2n = \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} \\
\Leftrightarrow \dfrac{(n-2)(n-1)n}{6} +2n = n(n+1) \\
\Leftrightarrow ... \\
\Leftrightarrow n(n^2-9n+8)=0 \\
\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow n=8$
Do đó $\left [ x^{-1} - \left ( x+x^2 \right ) \right ] ^8$
$\displaystyle = \sum^{8}_{k=0} C^k_8 \left ( x^{-1} \right )^{8-k} (-1)^k \left ( x+x^2 \right ) ^k \\
\displaystyle = \sum^{8}_{k=0} C^k_8 \left ( x^{-1} \right )^{8-k} (-1)^k \left ( \sum^{k}_{p=0} C^p_k x^{k-p} x^{2p} \right ) \\
= ... \\
\displaystyle = \sum^{8}_{k=0} \sum^{k}_{p=0} C^k_8 C^p_k (-1)^k x^{2k+p-8}$
Ta có giả thiết: số hạng không phụ thuộc $x$ $\Leftrightarrow 2k+p-8=0 \Leftrightarrow 2k+p=8 \Leftrightarrow k= \dfrac{8-p}{2}$. Với điều kiện $0 \leq p \leq k \leq 8; p,k \in \mathbb{N}$
Ta có bảng:

Nhận 2 cặp: $(p,k)=(0;4);(2;3)$
Vậy số hạng không phụ thuộc vào $x$ là: $C^4_8 C^0_4 (-1)^4 + C^3_8 C^2_3 (-1)^3=-98$