Những bí ẩn toán học chưa lời giải đáp

[james_bond_danny47]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có nhìu lắm nhưng đầu tiên mình post lên bài toán cuả Edors: Chứng minh rằng với moị số tự nhiên n>4, thì phân số [TEX]\frac{4}{n}[/TEX] bằng tổng cuả 3 phân số Ai Cập khác nhau". Bạn nào có ý kiến hay thì đóng góp nha. Cấp 3 hay đaị học cũng đều được. Thanks nhìu.Còn nhìu lắm, để hôm nào rãnh mình post thêm nữa để cùng trao đởi với các bạn

 

[anhtuanphan]

bài này thật khó vì chưa ai làm được mà
nhưng ta thử đi theo cách này xem
gọi 3 phân số đó là
[tex]\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}[/tex]
vậy ta có:[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{n}[/tex]
suy ra n(ab+bc+ca)=4abc (1)
bài toán trên trở thành chứng minh phương trình (1) luôn tồn tại 1cặp nghiệm nguyên(a,b,c)
anh chỉ nêu 1 chút thế thôi còn anh chưa thể làm được cái mà chưa ai làm được

 

[anhtuanphan]

anh đã giải được 1 chút của bài toán trên, chỉ còn 2 phần rất khó là n có dạng 120k+49 và 120k+1 với k nguyên dương
thì anh chưa làm được. anh sẽ post lời giải với n là các dạng khác 2 dạng trên lên cho em và mọi người cùng suy nghĩ và làm tiếp 2 dạng còn lại với anh
nhưng trước tiên anh sẽ cho mọi người khởi động đầu óc và làm quen trước với bài tập sau trước khi anh đưa ra lời giải
bài tập:
chứng minh rằng các số có dạng 4/n đều có thể phân tích thành 4 phân số ai cập khác nhau

 

[james_bond_danny47]

anh đã giải được 1 chút của bài toán trên, chỉ còn 2 phần rất khó là n có dạng 120k+49 và 120k+1 với k nguyên dương
thì anh chưa làm được. anh sẽ post lời giải với n là các dạng khác 2 dạng trên lên cho em và mọi người cùng suy nghĩ và làm tiếp 2 dạng còn lại với anh
nhưng trước tiên anh sẽ cho mọi người khởi động đầu óc và làm quen trước với bài tập sau trước khi anh đưa ra lời giải
bài tập:
chứng minh rằng các số có dạng 4/n đều có thể phân tích thành 4 phân số ai cập khác nhau

Nếu anh giải được thì chắc có lẻ cả thế giới sẽ ngả mũ cuối chào anh đấy. Giải được bài naỳ không phải chuyện dễ. Anh bít đấy một bài toán để chứng minh được nó hay giải được nhiều khi ta phải chứng minh rất nhiều bài toán bổ đề, rất nhiều bài toán phụ, mơí đi đến kết quả. Chẳng hạn như bài : Chứng minh tổng khoảng cách từ đIểm M bất kì đến các cạnh đa giác là một hằng số. Để giải được bài này ta phải chứng minh công thức tính diện tính đa giác, phải xét tam giác theo 1 quy luật mà thầy em goị là "vòng tròn ma thuật",....... Cuối cùng dùng phuơng pháp diện tích thì mới giải được. Anh thấy đấy, giải 1 bài toán nổi tiếng thì phức tạp lắm chứ không phải chuyện đuà. mÀ ANH NOÍ :"120k+49 và 120k+1" thì em không hiểu anh biến đổi tại sao mà đưa ra như vậy. Chúng ta sẽ cùng hợp tác để cùng nổi tiếng trên con đường khoa học tự nhiên đầy chông gai nhé.MẤY CÁI VỤ chúng minh chia hết với k,n mà anh noí đó, em ngu lắm

 

[anhtuanphan]

thì em cứ giải bài kia đi đã
đá bóng thì trước tiên phải khởi động đã
tất nhiên anh chứng minh thì phải có bổ đề chứ, cũng dài đại à
anh nói rõ lại 1 chút là anh vừa mới làm được 1 tí xíu thôi à
chỉ còn với n=120k+49 và n=120k+1 là chưa thể chứng minh được
còn các dạng khác anh đều CM được nó có thể phân tích thành 3 phân số ai cập

 

[tung5amkb]

Mình có lời giải này, nếu có chỗ nào sai thì các bạn góp ý nhé:
Nếu n = 3k. Khi đó:

[TEX]\frac{4}{n} \ = \ \frac{1}{n} \ + \ \frac{3}{n} \ = \ \frac{1}{n+1} \ + \ \frac{1}{n (n+1)} \ + \ \frac{3}{n} \ = \ \frac{1}{3k+1} \ + \ \frac{1}{3k(3k+1)} \ + \ \frac{1}{k}[/TEX]

Nếu n = 3k + 2. Khi đó:

[TEX]\frac{4}{n} \ = \ \frac{3}{n} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{3}{n+1} \ + \ \frac{3}{n(n+1)} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{1}{k+1} \ + \ \frac{1}{(3k+2)(k+1)} \ + \ \frac{1}{3k+2}[/TEX]

Nếu n = 3k + 1. Khi đó:

[TEX]\frac{4}{n} \ = \ \frac{3}{n} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{3}{n-1} \ - \ \frac{3}{n(n-1)} \ + \ \frac{1}{n} \ = \ \frac{1}{k} \ - \ \frac{1}{k(3k+1)} \ + \ \frac{1}{3k+1} \ = \ \frac{1}{k} \ + \ \frac{1}{-k(3k+1)} \ + \ \frac{1}{3k+1}[/TEX]