Toán Nhờ mọi người giúp đỡ

[Shirayuki-hime]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có M là 1 điểm nằm trong tam giác. Biết AM cắt BC tại A', BM cắt AC tại B', CM cắt AB tại C'. Xác định vị trí của M để [tex]\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{CM}{MC'}[/tex] đạt giá trị bé nhất.

 

[chi254]

Cho tam giác ABC có M là 1 điểm nằm trong tam giác. Biết AM cắt BC tại A', BM cắt AC tại B', CM cắt AB tại C'. Xác định vị trí của M để [tex]\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{CM}{MC'}[/tex] đạt giá trị bé nhất.

Đặt $S_{AMB} = S_3 ; S_{AMC} = S_2 ; S_{BMC} = S_1$
Ta có : $\dfrac{AM}{MA'} \\
= \dfrac{S_2}{S_{MCA'}} \\
= \dfrac{S_3}{S_{MBA'}} \\
= \dfrac{S_2 + S_3}{S_{MCA'} + S_{MBA'}} \\
= \dfrac{S_2 + S_3}{S_1}$
Tương tự :
$\frac{BM}{MB'} = \dfrac{S_1 + S_3}{S_2}$
$\frac{CM}{MC'} = \dfrac{S_1 + S_2}{S_3}$
Suy ra :
$\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{CM}{MC'} \\
= \dfrac{S_2 + S_3}{S_1} + \dfrac{S_1 + S_3}{S_2} + \dfrac{S_1 + S_2}{S_3}\\
= (\dfrac{ S_3}{S_1} + \dfrac{ S_1}{S_3} ) + (\dfrac{ S_1}{S_2} + \dfrac{ S_2}{S_1} ) + ( \dfrac{ S_3}{S_2} + \dfrac{ S_2}{S_3} ) \geq 2 + 2 + 2 = 6$
Dấu ''='' xảy ra khi M là trọng tâm