Nhị thức Niuton

[maimaiiung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho khai triển $(1+x+x^2+....+x^{14})^{15}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{210}x^{210}$
CMR: $C_{15}^0a_{15} -C_{15}^1a_{14} + C_{15}^2a_{13}-...- C_{15}^{15}a_0 =-15$

 

[nerversaynever]

[TEX]\begin{array}{l}{\left( {1 + x + {x^2} + .. + {x^{14}}} \right)^{15}} = {a_0} + {a_1}x + .. + {a_{210}}{x^{210}}\\ \Rightarrow {\left( {{x^{15}} - 1} \right)^{15}} = \left( {{a_0} + {a_1}x + .. + {a_{210}}{x^{210}}} \right){\left( {x - 1} \right)^{15}}\\\sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{15\left( {15 - k} \right)}}{{\left( { - 1} \right)}^k}} = \left( {{a_0} + {a_1}x + .. + {a_{210}}{x^{210}}} \right)\left[ {\sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{15 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}} } \right]\end{array}[/TEX]
so sánh hệ số [TEX]{x^{15}}[/TEX] hai vế ta thấy
h/s [TEX]{x^{15}}[/TEX] vế trái bằng [TEX]C_{15}^{14}[/TEX]
h/s [TEX]{x^{15}}[/TEX] vế phải bằng [TEX]C_{15}^0{a_0} - C_{15}^{1}{a_1} + C_{15}^{2}{a_2} - . + C_{15}^{14}{a_{14}} - C_{15}^{15}{a_{15}}[/TEX]
vì [TEX]C_n^k = C_n^{n - k}[/TEX]do đó
[TEX]C_{15}^0{a_{15}} - C_{15}^1{a_{14}} + C_{15}^2{a_{13}} - . + C_{15}^{14}{a_1} - C_{15}^{15}{a_0} = - 15[/TEX]

 

[maimaiiung]

Mình không hiểu sao co dc hàng thứ 2 vậy ban? Hay bạn su dụng $(x^{15}-1)^{15}=(x-1)^{15}(x^{10}+x^5+1)^{15}$ Rồi sao đó thế nào nữa?

 

[nerversaynever]

Mình không hiểu sao co dc hàng thứ 2 vậy ban? Hay bạn su dụng $(x^{15}-1)^{15}=(x-1)^{15}(x^{10}+x^5+1)^{15}$ Rồi sao đó thế nào nữa?

Ta có đẳng thức
[TEX]\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x + {x^2} + .. + {x^{14}}} \right) = {x^{15}} - 1[/TEX]