Toán 11 Nhị thức niu tơn

với n là số nguyên dương tính tổng T=1nC0+2nC1+3nC2+..+(n+1)nCn

 

giả sử [tex]H=x.C^0_n+x^2.C^1_n+...+x^{n+1}.C^n_n=x(x+1)^n[/tex]
[tex]H'=C^0_n+2x.C^1_n+...+(n+1)x^n.C^n_n=(x+1)^n+n.x(n+1)^{n-1}=>T=H'(1)=2^n+n.2^{n-1}[/tex]

 

[tex]T=1.C_{n}^{0}+2.C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+....+(n+1).C^n_n=2^n+C^1_n+2C^2_n+3C^3_n+....+nC^n_n[/tex] (1)
Tới đây:
Đạo hàm nếu bạn đã học:
[tex](1+x)^n=C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+....+C^n_nx^n\Rightarrow ((1+x)^n)'=C^1_n+2C^2_nx+3C^3_n.x^2+...+ nC^n_nx^{n-1}[/tex]
Khi cho n=1 [tex]\Rightarrow n2^{n-1}=C^1_n+2C^2_n+3C^3_n+....+nC^n_n[/tex]
Thế lại dô (1) ta được điều cần tìm: [tex]T=(2+n)2^{n-1}[/tex]

 

Mà nếu bạn chưa học Đạo hàm thì dùng cách này: [tex]C^k_n=C^{n-k}_n[/tex]
Ta có:
[tex]T=1.C^0_n+2C^1_n+3C^2_n+...+(n+1)C^n_n[/tex]
[tex]T=(n+1)C^n_n+...+3C^2_n+2C^1_n+C^0_n.1[/tex]
--------------------------------------------------------------------------------------
2T=[tex](n+2)C^0_n+(n+2)C^1_n+....+(n+2)C^n_n[/tex]
[tex]==> 2T=(n+2)(C^0_1+C^1_n+...+C^n_n)=(n+2)2^n\Rightarrow T=(n+2).2^{n-1}[/tex]




( Đừng ai báo cáo mình tách ra 2 bài riêng biệt <3)