Toán 10 Nhận diện tam giác đều

[Nguyen Gia Lap]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp mình với:
Cho tam giác ABC có các góc thỏa đẳng thức sau

[tex]cos^{3}A + cos^{3}B + cos^{3}C +\frac{3}{2}cosAcosBcosC=\frac{9}{16}[/tex]

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

 

[Kaito Kidㅤ]

Đặt cosA=a , cosB= b, cos C=c
[tex]a^3+b^3+c^3+\frac{3}{2}abc=\frac{9}{16}[/tex]
Ta đi CM [tex]a^3+b^3+c^3+\frac{3}{2}abc\geq \frac{9}{16}[/tex]
Có [tex]a^2+b^2+c^2+2abc=1\\\Rightarrow abc=\frac{1}{2}(1-\sum a^2)[/tex]
Thay vô [tex]a^3+b^3+c^3+\frac{3}{2}abc=a^3+b^3+c^3+\frac{3}{2}.\frac{1}{2}.(1-\sum a^2)[/tex]
[tex]a^3+b^3+c^3+\frac{3}{2}abc\geq \frac{9}{16}\\\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\frac{3}{4}.(1-\sum a^2)\geq \frac{9}{16}\\\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\frac{3}{16}\geq \frac{3}{4}a^2+\frac{3}{4}b^2+\frac{3}{4}c^2[/tex]
Luôn đúng do:
Có [tex]\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+\frac{1}{16}\geq \frac{3}{4}a^2[/tex]
Cộng vào có DPCM Vậy [tex]a^3+b^3+c^3+\frac{3}{2}abc\geq \frac{9}{16}[/tex]
Do xảy ra dấu "=" nên [tex]\frac{a^3}{2}=\frac{b^3}{2}=\frac{c^3}{2}=\frac{1}{16}\\\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\\\Leftrightarrow cosA=cosB=cosC=\frac{1}{2}\\\Leftrightarrow A=B=C=60^o[/tex]