Toán 11 Nhận biết tam giác ABC

[Pansyty]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) cos²A+cos²B+cos²C=1
b)cosA.cosB.cosC=1/8............

 

[Kaito Kidㅤ]

Cả 2 bài dùng hết cái bổ đề: $\cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C = 1-2\cos A\cos B\cos C$ nha bạn
a.$\cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C = 1$
Hay $2\cos A\cos B\cos C=0$
Tương đương $$\left[\begin{array}{l} cosA=0\\cosB=0\\cosC=0 \end{array}\right.$$
Hay tam giác ABC vuông ở bất kì đỉnh nào cũng được.
b.
Tương đương $\cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C=\frac{3}{4}$
Áp dụng BĐT Cauchy vào vế trái: $$\cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C\geq 3\sqrt[3]{\cos^2 A \cos ^2B \cos ^2C}=3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}=VP$$
Đẳng thức xảy ra khi $$\left\{\begin{matrix} & \cos ^2A = \cos ^2B= \cos ^2C& \\ &cosA.cosB.cosC=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$$
Chỗ này suy luận tí :
TH1: có 2 góc có cos âm, 1 góc thì cos dương thì có 2 góc $120^o$ và 1 góc $60^o$ , không là tam giác
TH1: có 2 góc có cos dương, 1 góc thì cos âm thì có 2 góc $60^o$ và 1 góc $120^o$ , không là tam giác
TH3: 3 góc đều dương suy ra $A=B=C=60^o$
Vậy tam giác trên là tam giác đều.