Cho 3 số tự nhiên bất kì. CMR tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 2.
Duy Khoa Phan
Chúng ta cần chứng minh rằng trong bất kỳ ba số tự nhiên nào cho trước, luôn có hai số sao cho hiệu của chúng chia hết cho 2.
Xét ba số tự nhiên bất kỳ a, b, và c. Mỗi số tự nhiên có thể có hai trạng thái về tính chẵn hay lẻ. Chúng ta sẽ phân tích theo cách này:
- Chia số tự nhiên thành hai nhóm: chẵn và lẻ.
- Một số chẵn có dạng 2k, với k là một số nguyên.
- Một số lẻ có dạng 2k+1, với k là một số nguyên.
- Có hai trường hợp:
- Tất cả ba số đều chẵn:
Nếu a, b, và c đều là số chẵn, thì:
- a−b chia hết cho 2 (vì hiệu của hai số chẵn luôn chia hết cho 2).
- a−c chia hết cho 2 (vì hiệu của hai số chẵn luôn chia hết cho 2).
- b−c chia hết cho 2 (vì hiệu của hai số chẵn luôn chia hết cho 2).
- Trong trường hợp này, bất kỳ cặp nào trong ba số này đều có hiệu chia hết cho 2.
- Tất cả ba số đều lẻ hoặc có ít nhất hai số lẻ:
Nếu có ít nhất hai số lẻ, thì:
- Hiệu của hai số lẻ luôn chia hết cho 2 (vì hiệu của hai số lẻ là chẵn).
- Nếu có ít nhất một số chẵn và một số lẻ, thì hiệu giữa một số chẵn và một số lẻ sẽ không chia hết cho 2. Tuy nhiên, bởi vì có ba số, ít nhất một trong số chúng sẽ được chọn để tạo ra một cặp với một số khác (chẵn hoặc lẻ). Như vậy, ít nhất hai số trong ba số sẽ cùng có tính chất chẵn hoặc lẻ, nên hiệu của hai số này sẽ chia hết cho 2.
- Do đó, trong bất kỳ ba số tự nhiên nào cho trước, ít nhất có hai số sao cho hiệu của chúng chia hết cho 2.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
