Toán 12 Nguyên Hàm

[lengoctutb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính nguyên hàm sau $:$
$$\int \frac{x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}dx$$

 

[LN V]

Tính nguyên hàm sau $:$
$$\int \frac{x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}dx$$

$\int \dfrac{x^2}{(x^2-1)^2}dx \\ = \dfrac{1}{2} (\int \dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}dx+\int \dfrac{x^2-1}{(x^2-1)^2}dx) \\ = \dfrac{1}{2} (\int \dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{(x-\dfrac{1}{x})^2} dx+\int \dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{(x+\dfrac{1}{x})^2-4}dx) \\ =\dfrac{1}{2}(I_1+I_2)$
Để tính $I_1$ và $I_2$ bạn lần lượt đặt $x-\dfrac{1}{x}$ và $x+\dfrac{1}{x}$ làm ẩn phụ là ra

 

[iceghost]

Tính nguyên hàm sau $:$
$$\int \frac{x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}dx$$

$$\begin{aligned} \int \dfrac{x^2}{(x^2-1)^2} \, dx &= \int \dfrac1{x^2 - 1} \, dx + \int \dfrac{1}{(x^2-1)^2} \, dx \\
&= \dfrac12 \int \left( \dfrac{1}{x-1} - \dfrac1{x+1} \right) \, dx + \dfrac14 \int \left( \dfrac1{(x-1)^2} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{(x+1)^2} \right) \, dx \\
&= \dfrac12 \left( \ln(x-1) - \ln(x+1) \right) + \dfrac14 \left( -\dfrac{1}{x-1} - \ln(x-1) + \ln(x+1) - \dfrac1{x+1} \right) + C \\
&= \ldots
\end{aligned}$$