Toán Nguyên hàm

[...s2...love...s2...]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình cái nghĩ mãi hok ra
[tex]\frac{x^6 +x^5 +x^4 +2}{x^6 + 1}[/tex]

 

[jet_nguyen]

giúp mình cái nghĩ mãi hok ra
$$I= \int \dfrac{x^6 +x^5 +x^4 +2}{x^6 + 1}$$

Gợi ý:
$$I= \int \dfrac{x^6 +x^5 +x^4 +2}{x^6 + 1}dx$$$$= \int \dfrac{x^6 1}{x^6 + 1}dx+ \int \dfrac{x^5 }{x^6 + 1}dx + \int \dfrac{x^4+1}{x^6 + 1}dx$$$$= \int dx+ \int \dfrac{1 }{6(x^6 + 1)}dx^6+ \int \dfrac{x^4+1}{x^6 + 1}dx$$$$= x+\dfrac{\ln|x^6+1|}{6}+ \int \dfrac{x^4+1}{x^6 + 1}dx$$ Ta tính:
$$I'= \int \dfrac{x^4+1}{x^6 + 1}dx$$$$= \int \dfrac{x^4+x^2+1-x^2}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}dx$$$$= \int \dfrac{1}{x^2+1}dx+ \int \dfrac{x^2}{(x^3)^2+1}dx$$$$= \int \dfrac{1}{x^2+1}dx+ \int \dfrac{1}{3[(x^3)^2+1]}dx^3$$ Tới đây là những nguyên hàm cơ bản rồi.

 

[hoathuytinh16021995]

$$ \int_{0}^{1}\frac{ln(1 + x)}{1 + x^2}.dx $$
____________________________________________-
______________________________________________

 

[jet_nguyen]

$$ I=\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1 + x)}{1 + x^2}.dx $$
____________________________________________-
______________________________________________

Phân tích hướng giải:
Đầu tiên ta thấy mẫu có dạng: $1+x^2$ nên nghĩ đến việc đặt: $x=\tan t \Longrightarrow dx=\dfrac{1}{\cos^2t}dt=(1+\tan^2t)dt$
Vậy tích phân trở thành:
$$I=\int ^{\frac{\pi}{4}}_0 \dfrac{(1+\tan^2t)\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2t}dt$$$$=\int ^{\frac{\pi}{4}}_0 \ln(1+\tan t)dt$$ Đến đây quan sát tích phân ta thấy có cận $\dfrac{\pi}{4}$ và tích phân chứa $1+\tan t$.
Ta có nhận xét sau đây:
$$1+\tan(\dfrac{\pi}{4}-u)=1+\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}- \tan u}{1+\tan \dfrac{\pi}{4}. \tan u}=1+ \dfrac{1- \tan u}{1+1 \tan u}=\dfrac{2}{1+\tan u}$$ Vì thế ta nghĩ đến việc đặt: $t=\dfrac{\pi}{4}-u$ thì tích phân trở thành:
$$\int ^{\frac{\pi}{4}}_0 \ln(1+\tan t)dt=-\int^0_{\frac{\pi}{4}} \ln[1+\tan(\dfrac{\pi}{4}-u)]du=\int ^{\frac{\pi}{4}}_0 \ln(\dfrac{2}{1+\tan u})du=\int ^{\frac{\pi}{4}}_0 \ln(\dfrac{2}{1+\tan t})dt$$ Vậy:
$$2I= \int ^{\frac{\pi}{4}}_0 \ln(1+\tan t)dt+\int ^{\frac{\pi}{4}}_0 \ln(\dfrac{2}{1+\tan t})dt$$$$=\int ^{\frac{\pi}{4}}_0 [\ln(1+\tan t)+\ln(\dfrac{2}{1+\tan t})]dt$$$$=\int ^{\frac{\pi}{4}}_0\ln 2dt =t.\ln 2 \bigg| ^{\frac{\pi}{4}}_0$$ Tới đây thì nhẹ nhàng rồi nhé.

 

[tuanluuvan]

thử câu này coi thế nào

tính tích phân
[TEX]\int_0^{\frac{\pi}{2}} ln(sinx)dx[/TEX]

 

[jet_nguyen]

thử câu này coi thế nào
tính tích phân

[TEX]\int_0^{\frac{\pi}{2}} ln(sinx)dx[/TEX]

Bạn kiểm tra lại bài này nha, có cận $x=0 \Longrightarrow \sin x=0$ Tại giá trị này thì $\ln (\sin x)$ đâu xác định.

 

[tuanluuvan]

[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx)dx[/TEX]

đặt [TEX]x=\frac{\pi}{2}-t\Rightarrow dx=-dt[/TEX]
sau khi đổi biến[TEX] \Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(cosx)dx[/TEX]

[TEX] \Rightarrow 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(\frac{sin2x}{2})dx=\\\\\\\\\\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ln(sin2x)dx-ln2dx|_0^{\frac{\pi}{2}}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sin2x}-\frac{\pi.ln2}{2}[/TEX]
xét [TEX]J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sin2x)dx[/TEX]
đặt 2x=u\Rightarrow2dx=du
[TEX]J=\frac{1}{2}.\int_0^{\pi}lnsinudu[/TEX]
[TEX]=(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2} ln(sinu)du+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{1}{2}ln(sinu)du=\frac{1}{2}(I+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ln(sinu)du[/TEX]
xét [TEX]K=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ln(sinu)du[/TEX]
đặt [TEX]u=\pi-x\Rightarrow du=-dx[/TEX]
\Rightarrow[TEX]K=\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sinx)dx=I[/TEX]

\RightarrowJ=I
\Rightarrow [TEX]I=\frac{-\pi.ln2}{2}[/TEX]

 

[snowleopard]

Thử câu này coi
1, [TEX] I=\int_{0}^{(\frac{\pi}{2})^{3}}sin\sqrt[3]{x}dx [/TEX]

2,[TEX] I=\int\frac{cos^{6}xdx}{sin^{4}x} [/TEX]

không biết sao k viết đc căn bậc ba ?