Nguyên Hàm

[hunterking]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\int_{}^{}\frac{x^2}{(cosx+xsinx)^2}dx[/TEX]
Loại này em k biết hướng làm thế nào?? Các bác xem giùm em cái

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Nhận xét
$(cosx+xsinx)' = xcosx$
Nên tích phân ta viết lại thành
$I = -\int \dfrac{-xcosx}{(cosx+xsinx)^2}.\dfrac{x}{cosx}dx$
Đến đây bạn sử dụng tích phân từng phần
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = \dfrac{x}{cosx} \\ dv = \dfrac{-xcosx}{(cosx+xsinx)^2}dx = -\dfrac{d(cosx+xsinx)}{(cosx+xsinx)^2}\end{array} \right.$
là xong nhé

 

[hunterking]

1,[TEX]\int_{}^{}{(cos^3x-1)cos^2x}dx[/TEX]
2,[TEX]\int_{}^{}{\frac{sin(x-\frac{\pi}{4})}{sin2x+2(1+sinx+cosx)}dx[/TEX]

 

[jet_nguyen]

1,$$I=\int (\cos^3x-1)\cos^2xdx$$

Ta Viết I lại như sau:
$$I=\int (\cos^3x-1)\cos^2xdx=\int cos^5xdx-\int \cos^2xdx$$ Ta có:
$$\bullet I_1=\int \cos^5xdx=\int \cos^4xd\sin x $$$$ =\int(1-\sin^2x)^2d\sin x=\int (1-2\sin^2x+\sin^4x)d\sin x=\sin x-\dfrac{2\sin^3x}{3}+\dfrac{\sin^5x}{5}+C_1$$$$ \bullet I_2=\int \cos^2xdx=\int \dfrac{1+\cos2x}{2}dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin2x}{4}+C_2$$ Vậy:
$$I=\sin x-\dfrac{2\sin^3x}{3}+\dfrac{\sin^5x}{5}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin2x}{4}+C$$

 

[jet_nguyen]

2.$$\int \dfrac{\sin(x-\dfrac{\pi}{4})}{\sin2x+2(1+\sin x+\cos x)}dx$$

Ta có:
$$\bullet \sin2x+2(1+\sin x+\cos x)=2\sin x\cos x+1+1+2(\sin x+\cos x)$$$$=(\sin x+\cos x)^2+2(\sin x+\cos x)+1=(\sin x+\cos x+1)^2$$$$\bullet \sin(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}$$ Do đó:
$$I=\int \dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}(\sin x+\cos x+1)^2}dx$$$$=-\int \dfrac{1}{\sqrt{2}(\sin x+\cos x+1)^2}d(\sin x+\cos x)$$$$=\dfrac{1}{\sqrt{2}(\sin x+\cos x+1)}+C$$

 

[hunterking]

1,[TEX]\int_{}^{}{\frac{sin2xcosx}{1+cosx}}dx[/TEX]
2,[TEX]\int_{}^{}{\frac{sin2x}{3+4sinx-cos2x}}dx[/TEX]
3.[TEX]\int_{}^{}{\frac{x^3}{sqrt{4-x^2}}}dx[/TEX]

 

[newstarinsky]

2,[TEX]\int_{}^{}{\frac{sin2x}{3+4sinx-cos2x}}dx[/TEX]

Ta có $\dfrac{sin2x}{3+4sinx-cos2x}=\dfrac{2sinx.cosx}{3+4sinx-1+2sin^2x}=\dfrac{sinx.cosx}{(sinx+1)^2}$
Nên $I=\int_{}^{}\dfrac{sinx}{(sinx+1)^2}d(sinx)\\
=\int_{}^{}\dfrac{1}{sinx+1}d(sinx)-\int_{}^{}\dfrac{1}{(sinx+1)^2}d(sinx)\\
=ln|sinx+1|+\dfrac{1}{sinx+1}+C$

 

[hunterking]

Ta có $\dfrac{sin2x}{3+4sinx-cos2x}=\dfrac{2sinx.cosx}{3+4sinx-1+2sin^2x}=\dfrac{sinx.cosx}{(sinx+1)^2}$
Nên $I=\int_{}^{}\dfrac{sinx}{(sinx+1)^2}d(sinx)\\
=\int_{}^{}\dfrac{1}{sinx+1}d(sinx)-\int_{}^{}\dfrac{1}{(sinx+1)^2}d(sinx)\\
=ln|sinx+1|+(sinx+1)+C$

Phải là [TEX]ln|sinx+1|+\frac{1}{sinx+1}+C[/TEX] chớ bạn?????

 

[newstarinsky]

1,[TEX]\int_{}^{}{\frac{sin2xcosx}{1+cosx}}dx[/TEX]

$I=\int_{}^{}\dfrac{2sinx.cos^2x}{1+cosx}dx\\
=-\int_{}^{}\dfrac{2cos^2x-2+2}{1+cosx}d(cosx)\\
=-\int_{}^{}2(cosx-1)d(cosx)-\int_{}^{}\dfrac{2}{1+cosx}d(cosx)\\
=-cos^2x+2cosx-2ln|cosx+1|+C$

 

[jet_nguyen]

3.$$ \int\dfrac{x^3}{\sqrt{4-x^3}}dx$$

Bài này hình như không phải là nguyên hàm sơ cấp, nên kiến thức phổ thông chưa tính được thì phải?

 

[hunterking]

E viết lộn cái đề sr bác !! Đó phải là 4-x^2 !! xin lỗi cả nhà

 

[newstarinsky]

3.[TEX]\int_{}^{}{\frac{x^3}{sqrt{4-x^2}}}dx[/TEX]

Đặt $u=\sqrt{4-x^2}\Rightarrow u^2=4-x^2\Rightarrow udu=-xdx$

$I=-\int_{}^{}\dfrac{(4-u^2)u}{u}du\\
=\int_{}^{}(u^2-4)du\\
=\dfrac{u^3}{3}-4u+C\\
=\dfrac{(\sqrt{4-x^2})^3}{3}-4\sqrt{4-x^2}+C$

 

[hunterking]

[TEX]\int_{}^{}{sin^2x.tanx}dx[/TEX]
Tại cái ct này ngắn quá!! làm em phải spam icon!! sr mod và cả nhà!!

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Biến đổi thành
$\int \dfrac{sin^3x}{cosx}dx = - \int \dfrac{1-cos^2x}{cosx}d(cosx) $
đến đây ổn rồi bạn nhé