Câu 6
$(P): \ y = x^2+2 \Rightarrow y'=2x$
Gọi tiếp tuyến của (P) là $( \Delta )$, tiếp điểm của $( \Delta)$ và (P) là $M \left(x_0,y_0 \right ), \ y_0 = x_0^2+2$
hay tiếp điểm M có thể viết lại là: $M \left(x_0, x_0^2+2 \right)$
Phương trình tiếp tuyến: $( \Delta)$: $y=2x_0 \left( x-x_0 \right) + x_0^2+2 \\
\Leftrightarrow y = 2xx_0-x_0^2+2$
Diện tích hình giới hạn bởi $( \Delta), y=0,x=0,x=1$ (với $( \Delta)$ chặn dưới) là:
$\displaystyle \int_{0}^{1} \left (2xx_0 - x_0^2 + 2 \right) dx \\
\\
\displaystyle = \int_{0}^{1} \left[2xx_0 - \left ( x_0^2 + 2 \right ) \right]dx \\
\displaystyle = \left[ x^2x_0 - \left( x_0^2-2 \right).x \right] _{0}^{1} \\
= x_0 - x_0^2 - 2$
Ta có: $\displaystyle x_0 - x_0^2 + 2 = - \left( x_0^2 - x_0 - 2 \right) \\
= - \left( x_0^2 - 2.x_0. \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} - 2 \right) \\
= - \left [ \left( x_0 - \dfrac{1}{2} \right)^2 -\dfrac{9}{4} \right] \\
= \dfrac{9}{4} - \left( x_0 - \dfrac{1}{2} \right)^2 \leq \dfrac{9}{4}$
Dấu "=" xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow x_0 = \dfrac{1}{2}$
Thay $x_0 = \dfrac{1}{2}$ vào phương trình của $( \Delta )$, ta có: $y=x+ \dfrac{7}{4}$
Vậy $S_{max} = \dfrac{9}{4}, \ y=x+ \dfrac{7}{4}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
