C
cobethichcaube
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. Tích phân hàm phân thức
các dạng cơ bản
Các trường hợp đơn giản nhất có:
I.1 = \int \frac{1}{ax+b}dx
I.2 = \int \frac{1}{{ax+b}^n }dx với n tự nhiên khác 1
I.3 = \int \frac{x}{x^2+a}dx
I.4 = \int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}dx với a > 0
Nguyên hàm I.1, I.2 tính được dễ dàng bằng cách áp dụng công thức có trong bảng Nguyên hàm của các hàm số hợp (SGK trg 116). Nguyên hàm I.3 là bài tập 3d (SGK trg 118) – cũng chỉ là nguyên hàm dạng \int u^{\alpha}du (với \alpha \neq 1 .
I.4 là bài tập 4a (SGK trg 142). Để tính tích phân này ta đổi biến: đặt x = atgt.
Trường hợp tổng quát
Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T + R/Q (T, R lần lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui về tính tích phân của đa thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích phân của đa thức T không có gì khó khăn. Sau đây ta xét cách tính tích phân của phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức Q.
Trừong hợp 1. Q là tam thức bậc hai: Q = ax^2+bx+c
Có ba khả năng:
(i). Q có hai nghiệm phân biệt x_1;x_2
Khi đó có Q = a(x-x_1)(x-x_2) . Biến đổi:
\frac{R}{Q} = \frac{m}{x-x_1} + \frac{n}{x-x_2} , ở đây m, n là hai hằng số.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1
(ii). Q có nghiệm kép x_0
Khi đó có Q = a(x-x_0)^2 . Biến đổi:
\frac{R}{Q} = \frac{m}{x-x_0} + \frac{n}{(x-x_0)^2}
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2
(iii). Q vô nghiệm.
Khi đó Q = a(x^2+k^2) (k là hằng số). Biến đổi:
\frac{R}{Q} = \frac{mQ'}{Q} + \frac{n}{x^2+k^2} trong đó Q’ là đạo hàm của Q.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.3 và I.4
Trường hợp 2. Q là đa thức có bậc lớn hơn 2
Việc tính tích phân của phân thức R/Q với Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 trong trường hợp tổng quát vượt quá kiến thức PT. Thường ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q có thể phân tích thành nhân tử là các nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai vô nghiệm. Từ đó ta có thể biến đổi phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài toán như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4 . Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp ta đưa tích phân về dạng quen thuộc dđơn giản hơn.
Cuối cùng cũng lưu ý là bằng cách đổi biến, nhiều tích phân của hàm lượng giác, tích phân của hàm vô tỉ cũng đưa được về các dang tích phân trên. (ví dụ bài 1c của Kummer cho trên). Nhưng ta sẽ trở lại vấn đề này sau.
Các bạn hãy thử làm các bài tập sau để nắm rõ hơn phần lí thuyết nghe còn trừu tượng trên.
Bài tập: Tính các tích phân:
A = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1}dx
B = \int \frac_0^{\frac{a}{2}} \frac{1}{x^2-a^2}dx với a > 0
C = \int \frac_0^1 \frac{1}{x^2-x-2}dx
D = \int_0^1 \frac{x^2+3x+10}{x^2+2x+9}dx
E = \int_0^1 \frac{3}{x^3+1}dx
F = \int_0^{1/2} \frac{x^4}{x^4-1}dx
G = \int_0^1 \frac{x}{x^4+1}dx
HD
A. dạng I.3 ĐS: \frac{\pi}{4}
B. Biến đổi: f(x) = \frac{1}{x^2-a^2} = \frac{1}{(x+a)(x-a)} = \frac{1}{2a}\cdot (\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x-a}) .
Ta đã đưa về được tích phân dạng I.1.
Chú ý nguyên hàm \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C (a khác 0) cũng là một dạng nguyên hàm thường gặp, nên chú ý.
C. tương tự. ĐS \frac{1}{3}ln \frac{i}{4}
D. f(x) = 1 + \frac{Q'}{2Q} . ĐS: 1 + \frac{1}{ln\frac{4}{3}}
E. f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2x-1}{x^2-x+1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2-x+1}
ĐS: ln2+ \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}
F. f(x) = 1 + \frac{1}{4} \frac{1}{x-1} - \frac{1}{4} \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \frac{1}{x^2+1}
G. đặt t = x^2
Thêm mấy bài trích từ đề thi TS ĐH & CĐ mấy năm gần đây để các bạn làm quen
H = \int \frac{(x+3)^3}{(x-4)^7} dx
I = \int_0^1 \frac{dx}{2x^2+5x+2}
J = \int_0^1 \frac{x^3dx}{x^2+1}
K = \int_2^3 \frac{x^7dx}{1+x^8-2x^4}
các dạng cơ bản
Các trường hợp đơn giản nhất có:
I.1 = \int \frac{1}{ax+b}dx
I.2 = \int \frac{1}{{ax+b}^n }dx với n tự nhiên khác 1
I.3 = \int \frac{x}{x^2+a}dx
I.4 = \int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}dx với a > 0
Nguyên hàm I.1, I.2 tính được dễ dàng bằng cách áp dụng công thức có trong bảng Nguyên hàm của các hàm số hợp (SGK trg 116). Nguyên hàm I.3 là bài tập 3d (SGK trg 118) – cũng chỉ là nguyên hàm dạng \int u^{\alpha}du (với \alpha \neq 1 .
I.4 là bài tập 4a (SGK trg 142). Để tính tích phân này ta đổi biến: đặt x = atgt.
Trường hợp tổng quát
Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T + R/Q (T, R lần lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui về tính tích phân của đa thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích phân của đa thức T không có gì khó khăn. Sau đây ta xét cách tính tích phân của phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức Q.
Trừong hợp 1. Q là tam thức bậc hai: Q = ax^2+bx+c
Có ba khả năng:
(i). Q có hai nghiệm phân biệt x_1;x_2
Khi đó có Q = a(x-x_1)(x-x_2) . Biến đổi:
\frac{R}{Q} = \frac{m}{x-x_1} + \frac{n}{x-x_2} , ở đây m, n là hai hằng số.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1
(ii). Q có nghiệm kép x_0
Khi đó có Q = a(x-x_0)^2 . Biến đổi:
\frac{R}{Q} = \frac{m}{x-x_0} + \frac{n}{(x-x_0)^2}
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2
(iii). Q vô nghiệm.
Khi đó Q = a(x^2+k^2) (k là hằng số). Biến đổi:
\frac{R}{Q} = \frac{mQ'}{Q} + \frac{n}{x^2+k^2} trong đó Q’ là đạo hàm của Q.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.3 và I.4
Trường hợp 2. Q là đa thức có bậc lớn hơn 2
Việc tính tích phân của phân thức R/Q với Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 trong trường hợp tổng quát vượt quá kiến thức PT. Thường ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q có thể phân tích thành nhân tử là các nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai vô nghiệm. Từ đó ta có thể biến đổi phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài toán như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4 . Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp ta đưa tích phân về dạng quen thuộc dđơn giản hơn.
Cuối cùng cũng lưu ý là bằng cách đổi biến, nhiều tích phân của hàm lượng giác, tích phân của hàm vô tỉ cũng đưa được về các dang tích phân trên. (ví dụ bài 1c của Kummer cho trên). Nhưng ta sẽ trở lại vấn đề này sau.
Các bạn hãy thử làm các bài tập sau để nắm rõ hơn phần lí thuyết nghe còn trừu tượng trên.
Bài tập: Tính các tích phân:
A = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1}dx
B = \int \frac_0^{\frac{a}{2}} \frac{1}{x^2-a^2}dx với a > 0
C = \int \frac_0^1 \frac{1}{x^2-x-2}dx
D = \int_0^1 \frac{x^2+3x+10}{x^2+2x+9}dx
E = \int_0^1 \frac{3}{x^3+1}dx
F = \int_0^{1/2} \frac{x^4}{x^4-1}dx
G = \int_0^1 \frac{x}{x^4+1}dx
HD
A. dạng I.3 ĐS: \frac{\pi}{4}
B. Biến đổi: f(x) = \frac{1}{x^2-a^2} = \frac{1}{(x+a)(x-a)} = \frac{1}{2a}\cdot (\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x-a}) .
Ta đã đưa về được tích phân dạng I.1.
Chú ý nguyên hàm \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C (a khác 0) cũng là một dạng nguyên hàm thường gặp, nên chú ý.
C. tương tự. ĐS \frac{1}{3}ln \frac{i}{4}
D. f(x) = 1 + \frac{Q'}{2Q} . ĐS: 1 + \frac{1}{ln\frac{4}{3}}
E. f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2x-1}{x^2-x+1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2-x+1}
ĐS: ln2+ \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}
F. f(x) = 1 + \frac{1}{4} \frac{1}{x-1} - \frac{1}{4} \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \frac{1}{x^2+1}
G. đặt t = x^2
Thêm mấy bài trích từ đề thi TS ĐH & CĐ mấy năm gần đây để các bạn làm quen
H = \int \frac{(x+3)^3}{(x-4)^7} dx
I = \int_0^1 \frac{dx}{2x^2+5x+2}
J = \int_0^1 \frac{x^3dx}{x^2+1}
K = \int_2^3 \frac{x^7dx}{1+x^8-2x^4}