- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội


* Một số nguyên hàm cần nhớ để vận dụng nhanh:
1.a ∫x2−adx=ln∣x+x2−a∣+C
b. ∫x2+adx=ln∣x+x2+a∣+C
Chứng minh: ở dưới đây chứng minh với ý 1.b, ý 1.a thì chứng minh tương tự.
Đặt [TEX]t=x+\sqrt{x^2+a}[/TEX] => dt=(1+x2+ax)dx<=>dt=x2+ax+x2+adx
<=>dt=x2+atdx<=>tdt=x2+adx
Thu được nguyên hàm: ∫tdt=ln∣t∣+C=ln∣x+x2+a∣+C
2. a. ∫x2+adx=2xx2+a+2aln∣x+x2+a∣+C
b. ∫x2−adx=2xx2−a−2aln∣x+x2−a∣+C
Chứng minh: dưới đây chứng minh 2.a, 2.b chứng minh tương tự.
[TEX]I=\int \sqrt{x^2+a}dx[/TEX]
Để tính nguyên hàm này, ta phải dựa vào kết quả nguyên hàm từ ý 1, thực hiện nguyên hàm từng phần:
Đặt {u=x2+a=>u′=x2+axv′=1=>v=x
Thu được nguyên hàm: I=xx2+a−∫x2+ax2dx=xx2+a−∫(x2+a−x2+aa)dx
=xx2+a−I+∫x2+aadx=xx2+a−I+aln∣x+x2+a∣+C
<=>2I=xx2+a+aln∣x+x2+a∣+C<=>I=2xx2+a+2aln∣x+x2+a∣+C
*Vận dụng:
1. Tính nguyên hàm: I=∫3x2+x6x+1dx
Giải: Ở bài này thì đơn giản tử số là đạo hàm của biểu thức trong căn ở mẫu, do đó ta đổi biến:
I=∫3x2+x6x+1dx=∫3x2+xd(3x2+x)=23x2+x+C
2. Tính nguyên hàm: I=∫x2−2x−5dx
Giải: Ta cố gắng biến đổi về dạng giống như công thức (1) nêu ở bên trên:
I=∫(x−1)2−6dx=∫(x−1)2−6d(x−1)=ln∣(x−1)+(x−1)2−6∣+C
3. Tính nguyên hàm: I=∫x2+4x+9dx
Giải: Ta đưa về dạng giống như nguyên hàm ở công thức (2):
I=∫(x+2)2+5dx=∫(x+2)2+5d(x+2)=2x+2(x+2)2+5+25ln∣(x+2)+(x+2)2+5∣+C
1.a ∫x2−adx=ln∣x+x2−a∣+C
b. ∫x2+adx=ln∣x+x2+a∣+C
Chứng minh: ở dưới đây chứng minh với ý 1.b, ý 1.a thì chứng minh tương tự.
Đặt [TEX]t=x+\sqrt{x^2+a}[/TEX] => dt=(1+x2+ax)dx<=>dt=x2+ax+x2+adx
<=>dt=x2+atdx<=>tdt=x2+adx
Thu được nguyên hàm: ∫tdt=ln∣t∣+C=ln∣x+x2+a∣+C
2. a. ∫x2+adx=2xx2+a+2aln∣x+x2+a∣+C
b. ∫x2−adx=2xx2−a−2aln∣x+x2−a∣+C
Chứng minh: dưới đây chứng minh 2.a, 2.b chứng minh tương tự.
[TEX]I=\int \sqrt{x^2+a}dx[/TEX]
Để tính nguyên hàm này, ta phải dựa vào kết quả nguyên hàm từ ý 1, thực hiện nguyên hàm từng phần:
Đặt {u=x2+a=>u′=x2+axv′=1=>v=x
Thu được nguyên hàm: I=xx2+a−∫x2+ax2dx=xx2+a−∫(x2+a−x2+aa)dx
=xx2+a−I+∫x2+aadx=xx2+a−I+aln∣x+x2+a∣+C
<=>2I=xx2+a+aln∣x+x2+a∣+C<=>I=2xx2+a+2aln∣x+x2+a∣+C
*Vận dụng:
1. Tính nguyên hàm: I=∫3x2+x6x+1dx
Giải: Ở bài này thì đơn giản tử số là đạo hàm của biểu thức trong căn ở mẫu, do đó ta đổi biến:
I=∫3x2+x6x+1dx=∫3x2+xd(3x2+x)=23x2+x+C
2. Tính nguyên hàm: I=∫x2−2x−5dx
Giải: Ta cố gắng biến đổi về dạng giống như công thức (1) nêu ở bên trên:
I=∫(x−1)2−6dx=∫(x−1)2−6d(x−1)=ln∣(x−1)+(x−1)2−6∣+C
3. Tính nguyên hàm: I=∫x2+4x+9dx
Giải: Ta đưa về dạng giống như nguyên hàm ở công thức (2):
I=∫(x+2)2+5dx=∫(x+2)2+5d(x+2)=2x+2(x+2)2+5+25ln∣(x+2)+(x+2)2+5∣+C