Toán 12 Nguyên hàm hàm căn thức của tam thức bậc hai

[Tiến Phùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

* Một số nguyên hàm cần nhớ để vận dụng nhanh:
1.a $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a}}=ln|x+\sqrt{x^2-a}|+C$$

b. $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$$

Chứng minh: ở dưới đây chứng minh với ý 1.b, ý 1.a thì chứng minh tương tự.

Đặt [TEX]t=x+\sqrt{x^2+a}[/TEX] => $$dt=(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a}})dx<=>dt=\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}}dx$$

<=>$$dt=\frac{tdx}{\sqrt{x^2+a}}<=>\frac{dt}{t}=\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}$$

Thu được nguyên hàm: $$\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$$

2. a. $$\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$$

b. $$\int \sqrt{x^2-a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a}-\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2-a}|+C$$

Chứng minh: dưới đây chứng minh 2.a, 2.b chứng minh tương tự.
[TEX]I=\int \sqrt{x^2+a}dx[/TEX]
Để tính nguyên hàm này, ta phải dựa vào kết quả nguyên hàm từ ý 1, thực hiện nguyên hàm từng phần:

Đặt $$\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{x^2+a}=>u'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}\\ v'=1=>v=x \end{matrix}\right.$$

Thu được nguyên hàm: $$I=x\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx=x\sqrt{x^2+a}-\int (\sqrt{x^2+a}-\frac{a}{\sqrt{x^2+a}})dx$$

=$$x\sqrt{x^2+a}-I+\int \frac{a}{\sqrt{x^2+a}}dx=x\sqrt{x^2+a}-I+aln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$$

<=>$$2I=x\sqrt{x^2+a}+aln|x+\sqrt{x^2+a}|+C<=>I=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$$

*Vận dụng:
1. Tính nguyên hàm: $$I=\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x}}dx$$

Giải: Ở bài này thì đơn giản tử số là đạo hàm của biểu thức trong căn ở mẫu, do đó ta đổi biến:

$$I=\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x}}dx=\int \frac{d(3x^2+x)}{\sqrt{3x^2+x}}=2\sqrt{3x^2+x}+C$$

2. Tính nguyên hàm: $$I=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-2x-5}}$$

Giải: Ta cố gắng biến đổi về dạng giống như công thức (1) nêu ở bên trên:
$$I=\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2-6}}=\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2-6}}=ln|(x-1)+\sqrt{(x-1)^2-6}|+C$$

3. Tính nguyên hàm: $$I=\int \sqrt{x^2+4x+9}dx$$

Giải: Ta đưa về dạng giống như nguyên hàm ở công thức (2):

$$I=\int \sqrt{(x+2)^2+5}dx=\int \sqrt{(x+2)^2+5}d(x+2)=\frac{x+2}{2}\sqrt{(x+2)^2+5}+\frac{5}{2}ln|(x+2)+\sqrt{(x+2)^2+5}|+C$$