Xin chào, mình sẽ post lời giải bài lên diễn đàn này, mong các bạn xem xét. Nhưng do hơi
dài lên chỉ có thể hướng dẫn, còn cụ thể thì mọi người tự giải quyết nhé.
[TEX]\int {\frac{{x^6 }}{{1 + x^{12} }}dx} = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{x^6 - x^4 }}{{1 + x^{12} }}dx} + \int {\frac{{x^6 + x^4 }}{{1 + x^{12} }}dx} } \right)\[/TEX]
Bây giờ tính tích phân đầu, còn tích phân sau các bạn làm tương tự. Ta có:
[TEX]\begin{array}{l}I_1 = \int {\frac{{x^6 - x^4 }}{{1 + x^{12} }}dx} = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{x^2 }}}}{{\frac{1}{{x^6 }} + x^6 }}dx} \\ = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{x^2 }}}}{{\left( {x^3 + \frac{1}{{x^3 }}} \right)^2 - 2}}} dx = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{x^2 }}}}{{\left[ {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3 - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \right]^2 - 2}}} dx \\ \end{array}\[/TEX]
Đổi biến như sau:
[TEX]\begin{array}{l}t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 - \frac{1}{{x^2 }}} \right)dx \\ \Rightarrow I_1 = \int {\frac{{dt}}{{(t^3 - 3t)^2 - 2}}} = \int {\frac{{dt}}{{(t^3 - 3t - \sqrt 2 )(t^3 - 3t + \sqrt 2 )}}} \\ = \int {\frac{{dt}}{{(t + \sqrt 2 )(t - \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2})(t - \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{2})(t - \sqrt 2 )(t + \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2})(t + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{2})}}} \\\end{array}\[/TEX]
Đến đây thì các ban phân tích hàm dưới dấu tích phân dưới dạng tổng các phân số dạng:
[TEX]\frac{\alpha }{{t - \beta }}\[/TEX]
thì ta sẽ tính được nguyên hàm của [TEX]I_1 \[/TEX]
Hoàn toàn tương tự, ta tính được nguyên hàm của tích phân còn lại suy ra I.
Chúc các bạn học tập tốt, cuối tuần nghỉ ngơi vui vẻ nhé. Mọi thắc mắc xin vui lòng hỏi
tại nick name: hocmai.toanhoc sẵn sàng giải đáp.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
.