Toán 12 Nghiệm phức của phương trình

[Sweetdream2202]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. nghiệm của phương trình và phép phân tích thành nhân tử
giả sử $$P(z)$$ là đa thức bậc n của z và có n nghiệm $$z_1, z_2,...,z_n$$
$$P(z)=a.z^n+b.z^{n-1}+...;(a\neq 0)$$
phân tích được $$p(z)=a(z-z_1).(z-z_2)...(z-z_n)$$.

với bài toán yêu cầu tính tích dạng: $$(z_0-z_1).(z_0-z_2)...(z_0-z_n)$$.
khi đó, ta thay $$z=z_0$$ vào đa thức $$P(z)$$.
chú ý: $$z^2+k^2=z^2-(ki)^2=(z+ki)(z-ki)$$
xét qua một số ví dụ sau:
ví dụ 1: cho phương trình $$z^3+z+1=0$$ có 3 nghiệm phức phân biệt $$z_1, z_2, z_3.$$ tính giá trị biểu thức $$Q=(2+z_1)(2+z_2)(2+z_3)$$.
- ta có: đặt $$P(z)=z^3+z+1$$.
vì phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên ta phân tích được $$P(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$$
thay $$z=-2$$ ta được $$P(-2)=(-2-z_1).(-2-z_2).(-2-z_3)=-(2+z_1).(2+z_2).(2+z_3)$$.
vậy, $$Q=-P(-2)=9$$.

2. một dạng bài toán khác liên quan đến modun của số phức.
một đẳng thức thường được sử dụng trong bài toán này:
$$2(|z_1|^2+|z_2|^2)=|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2$$
áp dụng vào phương trình bậc 2: $$az^2+bz+c=0$$ có 2 nghiệm $$z_1,z_2$$.
thì $$(|z_1|+|z_2|)^2=|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|=\frac{|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2}{2}+2|z_1z_2|=\frac{|z_1+z_2|^2+|(z_1+z_2)^2-4z_1z_2|}{2}+2|z_1z_2|$$
ví dụ 2: có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $$z^2+mz+5=0$$ có 2 nghiệm phức $$z_1,z_2$$ thỏa mãn $$|z_1|+|z_2|=2\sqrt{5}$$.
theo hệ thức vi-et ta có: $$z_1=z_2=-m;z_1z_2=5$$.
áp dụng đẳng thức trên, ta được:
$$(|z_1|+|z_2|)^2=\frac{|z_1+z_2|^2+|(z_1+z_2)^2-4z_1z_2|}{2}+2|z_1z_2|<=>(2\sqrt{5})^2=\frac{|-m|^2+|m^2-20|}{2}+2.|5|<=>20-m^2=|m^2-20|$$
suy ra giá trị m thỏa mãn là $$\pm 4;\pm 3;\mp 2;\pm 1;0$$.
nếu thay đổi câu hỏi, yêu cầu tìm GTNN của biểu thức $$P=|z_1|+|z_2|$$
ta có: $$P\frac{|-m|^2+|m^2-20|}{2}+2.|5|=\frac{m^2+|m^2-20|}{2}+10\leq 20$$
vấn đề về nghiệm phức của phương trình là hướng ra đề chủ yếu của phần số phức, cùng với min max số phức. dạng bài này không khó, vì vậy đừng bỏ lỡ 1 cách đáng tiếc.