Toán 12 Nghiệm phức của phương trình

Thảo luận trong 'Số phức' bắt đầu bởi Sweetdream2202, 29 Tháng năm 2019.

Lượt xem: 79

  1. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cố vấn Toán Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    1,597
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    1. nghiệm của phương trình và phép phân tích thành nhân tử
    giả sử [tex]P(z)[/tex] là đa thức bậc n của z và có n nghiệm [tex]z_1, z_2,...,z_n[/tex]
    [tex]P(z)=a.z^n+b.z^{n-1}+...;(a\neq 0)[/tex]
    phân tích được [tex]p(z)=a(z-z_1).(z-z_2)...(z-z_n)[/tex].

    với bài toán yêu cầu tính tích dạng: [tex](z_0-z_1).(z_0-z_2)...(z_0-z_n)[/tex].
    khi đó, ta thay [tex]z=z_0[/tex] vào đa thức [tex]P(z)[/tex].
    chú ý: [tex]z^2+k^2=z^2-(ki)^2=(z+ki)(z-ki)[/tex]
    xét qua một số ví dụ sau:
    ví dụ 1: cho phương trình [tex]z^3+z+1=0[/tex] có 3 nghiệm phức phân biệt [tex]z_1, z_2, z_3.[/tex] tính giá trị biểu thức [tex]Q=(2+z_1)(2+z_2)(2+z_3)[/tex].
    - ta có: đặt [tex]P(z)=z^3+z+1[/tex].
    vì phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên ta phân tích được [tex]P(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)[/tex]
    thay [tex]z=-2[/tex] ta được [tex]P(-2)=(-2-z_1).(-2-z_2).(-2-z_3)=-(2+z_1).(2+z_2).(2+z_3)[/tex].
    vậy, [tex]Q=-P(-2)=9[/tex].

    2. một dạng bài toán khác liên quan đến modun của số phức.
    một đẳng thức thường được sử dụng trong bài toán này:
    [tex]2(|z_1|^2+|z_2|^2)=|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2[/tex]
    áp dụng vào phương trình bậc 2: [tex]az^2+bz+c=0[/tex] có 2 nghiệm [tex]z_1,z_2[/tex].
    thì [tex](|z_1|+|z_2|)^2=|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|=\frac{|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2}{2}+2|z_1z_2|=\frac{|z_1+z_2|^2+|(z_1+z_2)^2-4z_1z_2|}{2}+2|z_1z_2|[/tex]
    ví dụ 2: có bao nhiêu số nguyên m để phương trình [tex]z^2+mz+5=0[/tex] có 2 nghiệm phức [tex]z_1,z_2[/tex] thỏa mãn [tex]|z_1|+|z_2|=2\sqrt{5}[/tex].
    theo hệ thức vi-et ta có: [tex]z_1=z_2=-m;z_1z_2=5[/tex].
    áp dụng đẳng thức trên, ta được:
    [tex](|z_1|+|z_2|)^2=\frac{|z_1+z_2|^2+|(z_1+z_2)^2-4z_1z_2|}{2}+2|z_1z_2|<=>(2\sqrt{5})^2=\frac{|-m|^2+|m^2-20|}{2}+2.|5|<=>20-m^2=|m^2-20|[/tex]
    suy ra giá trị m thỏa mãn là [tex]\pm 4;\pm 3;\mp 2;\pm 1;0[/tex].
    nếu thay đổi câu hỏi, yêu cầu tìm GTNN của biểu thức [tex]P=|z_1|+|z_2|[/tex]
    ta có: [tex]P\frac{|-m|^2+|m^2-20|}{2}+2.|5|=\frac{m^2+|m^2-20|}{2}+10\leq 20[/tex]
    vấn đề về nghiệm phức của phương trình là hướng ra đề chủ yếu của phần số phức, cùng với min max số phức. dạng bài này không khó, vì vậy đừng bỏ lỡ 1 cách đáng tiếc.
     
    Lê Văn Đông thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->