Toán 12 [MTCT] 2 công thức "hủy diệt" bài hình đề thi MTCT TPHCM

[iceghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào mọi người.

Hàng năm ở TPHCM, Kỳ thi HSG Giải toán trên máy tính Casio được tổ chức định kỳ, thu hút các thí sinh tham gia đông đảo.

Là một thí sinh từng dự thi được Giải Nhất, mình đã nghiên cứu qua đề thi các năm và nhận thấy rằng, đề qua các năm không có sự thay đổi nhiều. Nói cách khác, nếu như bạn biết cách làm của các đề năm trước thì khả năng rất cao là năm nay bạn sẽ có giải

Nói vậy thôi, chứ mình không biết đề thi năm nay sẽ ra sau. Nhưng mình viết nên series "MTCT 12" này để chia sẻ những kinh nghiệm, phương pháp chung để giải quyết toàn bộ đề thi từ trước đến nay và hy vọng là nó vẫn sẽ áp dụng được cho năm sau!

Xin gửi tặng đội tuyển Toán 12 trường THPT Tân Thông Hội!

Bài viết này nói về chủ đề hình học...

Các công thức

Có 2 công thức sau bạn cần phải học thêm:

• Định lý Menelaus
• $S = 6VR$

Công thức đầu tiên sẽ quen thuộc hơn nếu như bạn có học toán lớp 9 nâng cao. Nếu không quen thì cũng đừng lo, bài viết này sẽ giới thiệu cho bạn.

Công thức thứ hai và cách sử dụng hai công thức vào bài hình của các đề thi mình sẽ dành cho 2 bài viết tới nhé.

Định lý Menelaus

Định lý Menelaus có thể hiểu như sau: Khi ta có ba điểm thẳng hàng $M, N, P$ nằm trên ba cạnh của tam giác $ABC$ thì ta có một hệ thức khá là ngầu như sau:

$\dfrac{MB}{MC} \cdot \dfrac{NC}{NA} \cdot \dfrac{PA}{PB} = 1$​

​

Ý nghĩa điều này là như sau:

• Khi ta có sẵn 2 điểm $N, P$ trên hai cạnh $AB$, $AC$ với các tỉ lệ cố định,
• khi lấy $M$ là giao điểm của $NP$ với cạnh còn lại là $BC$ thì $M$ cũng tạo thành một tỉ lệ cố định trên $BC$.

Ví dụ áp dụng

Cho $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{3}4$ và $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{3}$, tính $\dfrac{MB}{MC}$?
Áp dụng định lý Menelaus:

$\begin{array}{cccccccc}
& \dfrac{MB}{MC} & \cdot & \dfrac{NC}{NA} & \cdot & \dfrac{PA}{PB} &=& 1 \\
\implies & \dfrac{MB}{MC} &\cdot& \dfrac{2}{1}& \cdot &\dfrac{3}{1} &=& 1 \\
\implies & \dfrac{MB}{MC} && && &=& \dfrac{1}6 \end{array}$​

Mẹo ghi nhớ

Để ghi nhớ công thức này, mình thường làm như sau:

• Để ý rằng, các cái tỉ lệ có dạng $\dfrac{\mbox{điểm - đỉnh 1}}{\mbox{điểm - đỉnh 2}}$, trong đó điểm nằm trên đoạn nối từ đỉnh 1 đến đỉnh 2.
  Chẳng hạn: $\dfrac{MB}{MC}$, $\dfrac{NA}{NC}$, $\dfrac{PB}{PA}$. Viết $\dfrac{PA}{AB}$ là sai.
• Viết cái tỉ lệ cần tính ra, chẳng hạn như ta cần tính tỉ lệ của $P$ thì ta sẽ viết $$\dfrac{PA}{PB}$$
• Dưới mẫu là đỉnh $B$ nên ta sẽ nối tiếp bằng tỉ lệ có chứa đỉnh $B$ trên tử. Ở đây là $\dfrac{MB}{MC}$: $$\dfrac{PA}{PB} \cdot \dfrac{MB}{MC}$$
• Dưới mẫu là đỉnh $C$ nên ta sẽ nối tiếp bằng tỉ lệ có chứa đỉnh $C$ trên tử. Ở đây là $\dfrac{NC}{NA}$: $$\dfrac{PA}{PB} \cdot \dfrac{MB}{MC} \cdot \dfrac{NC}{NA} = 1$$
• Kiểm tra lại, nếu thấy mấy cái đỉnh nối đuôi thành $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{B}{C} \cdot \dfrac{C}{A} = 1$ thì biểu thức bạn viết là đúng rồi đấy Tới đây thay số vào nữa là xong.

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác $ABC$, $N, P$ nằm trên hai cạnh $AC$, $AB$ sao cho $\dfrac{CN}{CA} = \dfrac{7}{8}$ và $\dfrac{AP}{PB} = \dfrac{5}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $NP$, $BC$. Tính $\dfrac{MB}{MC}$?
2. Cho tam giác $ABC$, $M, N$ nằm trên hai cạnh $BC$, $AC$ sao cho $\dfrac{BM}{MC} = 2$ và $\dfrac{CN}{AN} = 3$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BN$, $P$ là giao điểm của $CI$ và $AB$.

(Hình minh họa)​

a) Tính $\dfrac{AI}{AM}$ (gợi ý: tam giác $AMC$)
b) Tính $\dfrac{BI}{BN}$ (gợi ý: $B, M, C$ thẳng hàng trong tam giác $AIN$!)
c) Tính tất cả các tỉ lệ còn lại trong hình.

Đáp số mình sẽ cung cấp trong bài viết tới

Hẹn các bạn tuần sau với công thức $S = 6VR$!

 

[iceghost]

Giải bài tập áp dụng định lý Menelaus

a) Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác $AMC$: $$\dfrac{IA}{IM} \cdot \dfrac{BM}{BC} \cdot \dfrac{NC}{NA} = 1$$
Thay $\dfrac{BM}{BC} = \dfrac{2}3$, $\dfrac{NC}{NA} = 3$ thì $\dfrac{IA}{IM} = \dfrac{1}2$

b) Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác $AIN$: $$\dfrac{BI}{BN} \cdot \dfrac{CN}{CA} \cdot \dfrac{MA}{MI} = 1$$
Cái này thì hơi khó nhìn chút, nhưng chỉ cần ba điểm thẳng hàng trên ba cạnh của tam giác là áp dụng được!
Thay $\dfrac{CN}{CA} = \dfrac{3}4$ và $\dfrac{MA}{MI} = \dfrac{3}2$ thì $\dfrac{BI}{BN} = \dfrac{8}{9}$

c) Nhìn kỹ thì ta chỉ còn 2 tỉ lệ cần tính là $\dfrac{CI}{CP}$ và $\dfrac{PA}{PB}$.
Để nhìn ra tam giác để áp dụng thì có một cách làm nhỏ như sau:

• Nhìn tỉ lệ ấy xem gồm những cạnh nào. Ví dụ như $\dfrac{CI}{CP}$ nó sẽ gồm cạnh $CP$, $CI$ và $PI$
• Chọn ra một cạnh và một tam giác chứa cạnh đấy. Ví dự như ta chọn cạnh $CP$ thì ta có thể chọn tam giác $APC$ (hoặc tam giác $BPC$)
• Nhìn xem trong tam giác ấy có ba điểm thẳng hàng nào không. Ví dụ như ta chọn tam giác $APC$ thì ta có $B,I,N$ thẳng hàng. Áp dụng định lý Menelaus thì $$\dfrac{IP}{IC} \cdot \dfrac{NC}{NA} \cdot \dfrac{BA}{BP} = 1$$
• Để ý $\dfrac{BA}{BP}$ chưa tính được nên ta sẽ lựa chọn các cạnh và tam giác khác.
• Lặp lại các bước trên cho đến khi tính được.

Ta nhẩm nhanh thì thấy trong tam giác $INC$: $$\dfrac{PI}{PC} \cdot \dfrac{AC}{AN} \cdot \dfrac{BN}{BI} = 1$$
Thay $\dfrac{AC}{AN} = 4$ và $\dfrac{BN}{BI} = \dfrac{9}8$ thì $\dfrac{PI}{PC} = \dfrac{2}9$

Nhận xét rằng: Từ chỉ 2 tỉ lệ mà ta đã tính được tất cả các tỉ lệ còn lại trong tam giác!

 

[iceghost]

Công thức thứ hai: $S = 6VR$

Đây là công thức thường dùng để bán kính mặt cầu ngoại tiếp khi đã biết các cạnh của một tứ diện.

Giả sử ta có tứ diện $S.ABC$, khi đó

• $S$ có giá trị bằng diện tích của tam giác có ba cạnh có độ dài bằng giá trị của $SA \cdot BC$, $SB \cdot AC$, $SC \cdot AB$.
• $V$ là thể tích tứ diện.
• $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Việc chứng minh lại công thức thì mình không khuyến khích lắm. Phép chứng minh đẹp nhất sử dụng phép nghịch đảo.

Giải thích thêm về đại lượng $S$

Giả sử ta tính được $SA \cdot BC = 2$, $SB \cdot AC = 3$, $SC \cdot AB = 4$ thì $S$ bằng diện tích của tam giác có ba cạnh là $2$, $3$, $4$. Thường thì ta sẽ sử dụng công thức He-rông để tính diện tích này.

Bài tập áp dụng

Dùng công thức trên, hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $3$ và cạnh đáy bằng $2$. Kiểm tra lại kết quả bằng một cách làm khác.