Toán 12 Một số dạng toán về mặt cầu và đường thẳng

Thảo luận trong 'Phương pháp tọa độ trong không gian' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 29 Tháng một 2020.

Lượt xem: 105

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    1. Cho mặt cầu (S) và đường thẳng d. Xét vị trí tương đối của (S) và d.
    Cách 1: Tính khoảng cách h từ I đến d bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
    - Nếu h>R thì d không cắt (S).
    - Nếu h=R thì d tiếp xúc (S).
    - Nếu h<R thì d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

    Cách 2: giải phương trình giao điểm của d và (S).
    - PT vô nghiệm thì d không cắt (S).
    - PT có nghiệm duy nhất thì d tiếp xúc (S).
    - PT có 2 nghiệm phân biệt thì d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
    Lưu ý: phải để dạng pt biểu diễn d dưới dạng tham số, để có thể thay cả 3 biến x,y,z bằng biến t, vào pt mặt cầu (S). Từ đó giải pt bậc 2 của t.

    Ví dụ: Cho mặt cầu (S):[TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=16[/TEX] và d:[tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex] . Xác định vị trí tương đối của d và (S).

    Giải:
    Cách 1: (S) có tâm I(1;1;1) và R=4.
    M(1;2;2) thuộc d. Vecto chỉ phương của d là :[TEX]u_d=(1;2;2)[/TEX]
    Ta có [tex]d(I;d)=\frac{|[\overrightarrow{IM},\overrightarrow{u_d}]|}{|\overrightarrow{u_d}|}=\frac{|(0;1;1),(2;1;2)|}{|(2;1;2)|}=1[/tex]

    Do d(I;d)<R nên d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
    Chú ý: thay tọa độ M vào (S) ta thấy M nằm trong (S). Từ đây ta cũng có thể kết luận được d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
    Cách 2: ta chuyển d về dạng tham số:
    [tex]d:\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=2+2t \end{matrix}\right.[/tex]

    Ta có phương trình tìm tọa độ giao điểm của d và (S):
    [TEX](1+2t-1)^2+(2+t-1)^2+(2+2t-1)^2=16[/TEX]
    [TEX]<=>9t^2+6t-14=0[/TEX]

    Pt có 2 ngiệm phân biệt, do đó d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
    2. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I cho trước, và tiếp xúc với đường thẳng d.

    Cách giải: Do (S) tiếp xúc d nên d(I;d) = R. Từ đó ta tính d(I;d) để tìm R, và viết pt (S).

    Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với d:[tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex].

    Giải: Ta tính d(I;d). Theo đã tính ở trên thì d(I;d)=1=>R=1
    Vậy pt mặt cầu cần tìm là : [TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1[/TEX]

    3. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I cho trước, cắt d tại 2 điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB=a.

    Cách giải:
    upload_2020-1-29_16-25-39.png


    Gọi H là hình chiếu của I lên AB => H là trung điểm AB.
    Ta có : IH=d(I;d) ( tính được)
    [tex]HB=\frac{a}{2}[/tex] ( đã biết )
    Theo định lý Pi-ta-go: [TEX]IH^2+HB^2=IB^2=R^2[/TEX]. Từ đó ta tính được R và viết pt.

    Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), cắt đường thẳng d: [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex] tại 2 điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB=4.

    Giải: Gọi H là trung điểm AB ( như hình vẽ trên ). Ta có HA=2.

    IH=d(I;d)=1.
    Theo định lý Pi-ta-go ta có: [TEX]R^2=IH^2+HA^2=5[/TEX]
    Vậy pt mặt cầu (S) là: [TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5[/TEX]
     
    Hồng MinhBella Dodo thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->