- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. Cho mặt cầu (S) và đường thẳng d. Xét vị trí tương đối của (S) và d.
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I đến d bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
- Nếu h>R thì d không cắt (S).
- Nếu h=R thì d tiếp xúc (S).
- Nếu h<R thì d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Cách 2: giải phương trình giao điểm của d và (S).
- PT vô nghiệm thì d không cắt (S).
- PT có nghiệm duy nhất thì d tiếp xúc (S).
- PT có 2 nghiệm phân biệt thì d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Lưu ý: phải để dạng pt biểu diễn d dưới dạng tham số, để có thể thay cả 3 biến x,y,z bằng biến t, vào pt mặt cầu (S). Từ đó giải pt bậc 2 của t.
Ví dụ: Cho mặt cầu (S):[TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=16[/TEX] và d:[tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex] . Xác định vị trí tương đối của d và (S).
Giải:
Cách 1: (S) có tâm I(1;1;1) và R=4.
M(1;2;2) thuộc d. Vecto chỉ phương của d là :[TEX]u_d=(1;2;2)[/TEX]
Ta có [tex]d(I;d)=\frac{|[\overrightarrow{IM},\overrightarrow{u_d}]|}{|\overrightarrow{u_d}|}=\frac{|(0;1;1),(2;1;2)|}{|(2;1;2)|}=1[/tex]
Do d(I;d)<R nên d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Chú ý: thay tọa độ M vào (S) ta thấy M nằm trong (S). Từ đây ta cũng có thể kết luận được d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Cách 2: ta chuyển d về dạng tham số:
[tex]d:\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=2+2t \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có phương trình tìm tọa độ giao điểm của d và (S):
[TEX](1+2t-1)^2+(2+t-1)^2+(2+2t-1)^2=16[/TEX]
[TEX]<=>9t^2+6t-14=0[/TEX]
Pt có 2 ngiệm phân biệt, do đó d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
2. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I cho trước, và tiếp xúc với đường thẳng d.
Cách giải: Do (S) tiếp xúc d nên d(I;d) = R. Từ đó ta tính d(I;d) để tìm R, và viết pt (S).
Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với d:[tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex].
Giải: Ta tính d(I;d). Theo đã tính ở trên thì d(I;d)=1=>R=1
Vậy pt mặt cầu cần tìm là : [TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1[/TEX]
3. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I cho trước, cắt d tại 2 điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB=a.
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu của I lên AB => H là trung điểm AB.
Ta có : IH=d(I;d) ( tính được)
[tex]HB=\frac{a}{2}[/tex] ( đã biết )
Theo định lý Pi-ta-go: [TEX]IH^2+HB^2=IB^2=R^2[/TEX]. Từ đó ta tính được R và viết pt.
Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), cắt đường thẳng d: [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex] tại 2 điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB=4.
Giải: Gọi H là trung điểm AB ( như hình vẽ trên ). Ta có HA=2.
IH=d(I;d)=1.
Theo định lý Pi-ta-go ta có: [TEX]R^2=IH^2+HA^2=5[/TEX]
Vậy pt mặt cầu (S) là: [TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5[/TEX]
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I đến d bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
- Nếu h>R thì d không cắt (S).
- Nếu h=R thì d tiếp xúc (S).
- Nếu h<R thì d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Cách 2: giải phương trình giao điểm của d và (S).
- PT vô nghiệm thì d không cắt (S).
- PT có nghiệm duy nhất thì d tiếp xúc (S).
- PT có 2 nghiệm phân biệt thì d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Lưu ý: phải để dạng pt biểu diễn d dưới dạng tham số, để có thể thay cả 3 biến x,y,z bằng biến t, vào pt mặt cầu (S). Từ đó giải pt bậc 2 của t.
Ví dụ: Cho mặt cầu (S):[TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=16[/TEX] và d:[tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex] . Xác định vị trí tương đối của d và (S).
Giải:
Cách 1: (S) có tâm I(1;1;1) và R=4.
M(1;2;2) thuộc d. Vecto chỉ phương của d là :[TEX]u_d=(1;2;2)[/TEX]
Ta có [tex]d(I;d)=\frac{|[\overrightarrow{IM},\overrightarrow{u_d}]|}{|\overrightarrow{u_d}|}=\frac{|(0;1;1),(2;1;2)|}{|(2;1;2)|}=1[/tex]
Do d(I;d)<R nên d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Chú ý: thay tọa độ M vào (S) ta thấy M nằm trong (S). Từ đây ta cũng có thể kết luận được d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Cách 2: ta chuyển d về dạng tham số:
[tex]d:\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=2+2t \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có phương trình tìm tọa độ giao điểm của d và (S):
[TEX](1+2t-1)^2+(2+t-1)^2+(2+2t-1)^2=16[/TEX]
[TEX]<=>9t^2+6t-14=0[/TEX]
Pt có 2 ngiệm phân biệt, do đó d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
2. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I cho trước, và tiếp xúc với đường thẳng d.
Cách giải: Do (S) tiếp xúc d nên d(I;d) = R. Từ đó ta tính d(I;d) để tìm R, và viết pt (S).
Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với d:[tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex].
Giải: Ta tính d(I;d). Theo đã tính ở trên thì d(I;d)=1=>R=1
Vậy pt mặt cầu cần tìm là : [TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1[/TEX]
3. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I cho trước, cắt d tại 2 điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB=a.
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu của I lên AB => H là trung điểm AB.
Ta có : IH=d(I;d) ( tính được)
[tex]HB=\frac{a}{2}[/tex] ( đã biết )
Theo định lý Pi-ta-go: [TEX]IH^2+HB^2=IB^2=R^2[/TEX]. Từ đó ta tính được R và viết pt.
Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), cắt đường thẳng d: [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}[/tex] tại 2 điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB=4.
Giải: Gọi H là trung điểm AB ( như hình vẽ trên ). Ta có HA=2.
IH=d(I;d)=1.
Theo định lý Pi-ta-go ta có: [TEX]R^2=IH^2+HA^2=5[/TEX]
Vậy pt mặt cầu (S) là: [TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5[/TEX]
