Toán 12 Một số dạng toán của tích phân hàm ẩn

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Như các bạn đã biết toán tích phân hàm ẩn thường rất xuất hiện trong đề thi THPTQG, đặc biệt là ở các câu VD - VDC. Vậy nên hôm nay mình sẽ giới thiệu đến các bạn một số dạng toán liên quan đến tích phân hàm ẩn để các bạn ôn tập cũng như củng cố lại kiến thức về phần bài tập này

TÍCH PHÂN HÀM ẨN VD - VDC​

Dạng 1: Cho [imath]\displaystyle \int \limits_a^b f(x) \, \mathrm dx[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits_a^b u'(x)f[u(x)]\, \mathrm dx[/imath]
Phương pháp: Đặt [imath]t = u(x)[/imath]

Ví dụ 1: Cho [imath]\displaystyle \int \limits_0^4 f(x)\, \mathrm dx = 16[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits_0^2 f(2x) \,\mathrm dx[/imath] A. 16 B. 32 C. 4 D. 8

Lời giải:
Xét tích phân [imath]\displaystyle \int \limits _{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x[/imath]. Đặt [imath]2 x=t \iff \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \mathrm{d}t[/imath].
Khi [imath]x=0[/imath] thì [imath]t=0[/imath]; khi [imath]x=2[/imath] thì [imath]t=4[/imath]. Do đó [imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(t) \mathrm{d}t=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \cdot 16=8[/imath].

Ví dụ 2: Cho [imath]\displaystyle \int \limits _{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2[/imath]. Tính [imath]I=\displaystyle \int \limits _{1}^{4} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath] bằng: A. [imath]I = 1[/imath] B. [imath]I = 2[/imath] C. [imath]I = 4[/imath] D. [imath]I = \dfrac{1}2[/imath]

Lời giải:
Đặt [imath]t=\sqrt{x} \iff \mathrm{d} t=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath];
Đổi cận: [imath]x=1 \iff t=1, x=4 \iff t=2[/imath]
[imath]I= \displaystyle \int \limits _{1}^{4} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(t) 2 \mathrm{d} t=2 \displaystyle \int \limits _{1}^{2} f(t) \mathrm{d}t =2 \cdot 2=4[/imath]

Ví dụ 3: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] thoả mãn [imath]\displaystyle \int \limits_{1}^{16} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=6[/imath] và [imath]\displaystyle\int \limits _{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{d} x=3[/imath]. Tính tích phân [imath]I=\displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x[/imath]. A. [imath]I=-2[/imath] B. [imath]I=6[/imath] C. [imath]I=9[/imath] D. [imath]I=2[/imath]

Lời giải:
+ Xét [imath]I=\displaystyle \int \limits _{1}^{16} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=6[/imath], đặt [imath]\sqrt{x}=t \iff \dfrac{\mathrm{d} x}{2 \sqrt{x}}=\mathrm{d} t[/imath]
Đổi cận: [imath]x=1 \iff t=1 ; x=16 \iff t=4[/imath] nên [imath]I=2 \displaystyle \int \limits_{1}^{4} f(t) \mathrm{d} t=6 \iff \displaystyle \int \limits_{1}^{4} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{6}{2}=3[/imath].
+ Xét [imath]J=\displaystyle \int\limits _{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{d} x=3[/imath], đặt [imath]\sin x=u \iff \cos x \mathrm{d} x=\mathrm{d} u[/imath]
Đổi cận: [imath]x=0 \iff u=0 ; x=\dfrac{\pi}{2} \iff u=1 \iff J=\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=3[/imath]
Vậy [imath]I=\displaystyle \int \limits_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int \limits _{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=3+3=6[/imath].

Ví dụ 4: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] thỏa [imath]\displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2[/imath] và [imath]\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14[/imath]. Tính [imath]\displaystyle\int \limits_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm d x[/imath] A. 30 B. 32 C. 34 D. 36

Lời giải:
- Xét: [imath]\displaystyle \int \limits_0^1 f(2x) \, \mathrm dx = 2[/imath].
Đặt: [imath]u = 2x \implies \mathrm du = 2 \mathrm dx[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 0 & 1 \\ \hline u & 0 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies 2 = \displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x = \dfrac{1}2 \displaystyle \int \limits_0^4 f(u) \mathrm du \implies \displaystyle \int \limits_0^4 f(u) \mathrm du = 4[/imath]

- Xét: [imath]\displaystyle \int \limits_0^2 f(6x) \, \mathrm dx = 14[/imath].
Đặt [imath]v = 6x \implies \mathrm dv = 6 \mathrm dx[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 0 & 2 \\ \hline v & 0 & 12 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies 14= \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{6} \displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v \iff \displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v=84[/imath]
- Xét: [imath]\displaystyle\int \limits _{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x= \displaystyle\int \limits _{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x+ \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath]

[imath]\bullet[/imath] Tính [imath]I_{1}= \displaystyle\int \limits _{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath]
Đặt: [imath]t=5|x|+2[/imath]. Khi [imath]-2<x<0, t=-5 x+2 \implies \mathrm{d}t=-5 \mathrm{d} x[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & -2 & 0 \\ \hline t & 12 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies I_{1}=\dfrac{-1}{5}\displaystyle\int \limits _{12}^{2} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{5}\left[\displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t - \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\dfrac{1}{5}(84-4)=16[/imath]

[imath]\bullet[/imath] Tính [imath]I_{1}=\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath].
Đặt [imath]t=5|x|+2[/imath]. Khi [imath]0<x<2, t=5 x+2 \implies \mathrm{d} t=5 \mathrm{d} x[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 2 & 0 \\ \hline t & 12 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies I_{2}=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int \limits _{2}^{12} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{5}\left[\displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t-\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\dfrac{1}{5}(84-4)=16[/imath]

Vậy [imath]\displaystyle\int \limits _{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x=32[/imath].

Ví dụ 5: Cho [imath]I=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2[/imath]. Giá trị của [imath]J=\displaystyle\int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x \cdot f(\sqrt{3 \cos x+1})}{\sqrt{3 \cos x+1}} \mathrm{d} x[/imath] bằng: A. 2 . B. [imath]-\dfrac{4}{3}[/imath]. C. [imath]\dfrac{4}{3}[/imath]. D. [imath]-2[/imath].

Lời giải:
Đặt [imath]t=\sqrt{3 \cos x+1} \implies \mathrm{d} t=\dfrac{-3 \sin x}{2 \sqrt{3 \cos x+1}} \mathrm{d} x[/imath].
Đổi cận: [imath]x=0 \implies t=2 ; x=\dfrac{\pi}{2} \implies t=1[/imath].
Khi đó: [imath]J=\displaystyle\int \limits_{2}^{1}-\dfrac{2}{3} f(t) \mathrm{d} t=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} \dfrac{2}{3} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{2}{3} \displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3} \cdot 2=\dfrac{4}{3}[/imath].

Ví dụ 6: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][1 ; 4][/imath] và thỏa mãn [imath]f(x)=\dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}[/imath]. Tính tích phân [imath]I=\displaystyle\int \limits_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x[/imath]. A. [imath]I=3+2 \ln ^{2} 2[/imath]. B. [imath]I=2 \ln ^{2} 2[/imath]. C. [imath]I=\ln ^{2} 2[/imath]. D. [imath]I=2 \ln 2[/imath].

Lời giải:
Ta có [imath]\displaystyle\int \limits_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4}\left[\dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\right] \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x+\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{\ln x}{x} \mathrm{d} x[/imath].
Xét [imath]K=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath].
Đặt [imath]2 \sqrt{x}-1=t \implies \sqrt{x}=\dfrac{t+1}{2} \implies \dfrac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}=\mathrm{d} t[/imath]
[imath]\implies K=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(t) \mathrm{d} t=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x[/imath].
Xét [imath]M=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{\ln x}{x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \ln x \mathrm{d}(\ln x)=\left.\dfrac{\ln ^{2} x}{2}\displaystyle \right|_{1} ^{4}=2 \ln ^{2} 2[/imath].
Do đó [imath]\displaystyle\int \limits_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x+2 \ln ^{2} 2 \implies \displaystyle\int \limits_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln ^{2} 2[/imath].

Các bạn làm thử một số bài tập tự luyện của dạng 1 nhé

Bài 1: Cho [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{1} f(2 x+1) \mathrm{d} x=12[/imath] và [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{d} x=3[/imath]. Tính [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x[/imath].

Bài 2: Cho [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathrm R[/imath] và thoả mãn [imath]f( 4 - x) = f(x)[/imath]. Biết [imath]\displaystyle \int \limits_1^3 xf(x) \mathrm dx = 5[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits _1^3 f(x)\, \mathrm dx[/imath].

Bài 3: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][1;3][/imath] thoả mãn [imath]f(4 - x) = f(x), \forall x \in [1;3][/imath] và [imath]\displaystyle \int \limits_1^3 f(x)\, \mathrm dx = -2[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits _1^3 f(x) \mathrm dx[/imath]

Mình sẽ cập nhật các dạng bài tiếp theo ở bài sau. Các bạn nhớ theo dõi nhé

 

[Timeless time]

Dạng 2: Tính [imath]\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm dx[/imath], biết hàm số [imath]f(x)[/imath] thỏa mãn : [imath]A \cdot f(x)+B \cdot u' \cdot f(u)+C \cdot f(a+b-x)=g(x)[/imath]

Phương pháp giải: Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng : + Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số [imath]A, B, C[/imath]. + Nếu: [imath]f(x)[/imath] liên tục trên đoạn[imath][a ; b][/imath] thì [imath]\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm d x=\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm dx[/imath] + Với: [imath]\left\{\begin{array}{l}u(a)=a \\u(b)=b\end{array}\right.[/imath] thì [imath]\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm d x=\dfrac{1}{A+B+C}\displaystyle \int \limits_{a}^{b} g(x) \mathrm d x[/imath] + Với [imath]\left\{\begin{array}{l}u(a)=b \\u(b)=a\end{array}\right.[/imath] thì [imath]\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm d x=\dfrac{1}{A-B+C} \displaystyle \int \limits_{a}^{b} g(x) \mathrm d x[/imath]

Ví dụ 1: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath][0 ; 1][/imath] thỏa mãn [imath]f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\dfrac{6}{\sqrt{3 x+1}}[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x[/imath] A. 2 . B. 4 . C. -1. D. 6 .

Lời giải:
Cách 1: (Dùng công thức tính nhanh)
Biến đổi: [imath]f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\dfrac{6}{\sqrt{3 x+1}} \iff f(x)-2 \cdot 3 x^{2} \cdot f\left(x^{3}\right)=-\dfrac{6}{\sqrt{3 x+1}}[/imath] với [imath]A=1, B=-2[/imath].
Áp dụng công thức ta có: [imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{1+(-2)} \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{-6}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{d} x=4[/imath].

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi)
Từ [imath]f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\dfrac{6}{\sqrt{3 x+1}} \implies \displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-2 \displaystyle \int \limits_{0}^{1} 3 x^{2} f\left(x^{3}\right) \mathrm{d} x=-6 \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{d} x \, \, \, (*)[/imath]
Đặt [imath]u=x^{3} \implies \mathrm d u=3 x^{2} \mathrm{d}x[/imath]
Đổi cận: với [imath]x=0 \implies u=0[/imath] và [imath]x=1 \implies u=1[/imath].
Khi đó [imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{1} 3 x^{2} f\left(x^{3}\right) \mathrm{d} x=\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x[/imath] thay vào [imath](*)[/imath], ta được:
[imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=-6 \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{d} x \iff \displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=6 \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{d} x=4[/imath]

Ví dụ 2: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath][0 ; 2][/imath] và thỏa mãn điều kiện [imath]f(x)+f(2-x)=2 x[/imath]. Tính giá trị của tích phân [imath]I=\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(x) \mathrm d x[/imath]. A. [imath]-4[/imath]. B. [imath]\dfrac{1}2[/imath]. C. [imath]\dfrac{4}3[/imath]. D. [imath]2[/imath].

Lời giải:
Cách 1: (Dùng công thức tính nhanh)
Với [imath]f(x)+f(2-x)=2 x[/imath] ta có [imath]A=1 ; B=1[/imath]
[imath]\implies[/imath] [imath]I=\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(x) \mathrm d x=\dfrac{1}{1+1} \displaystyle \int \limits_{0}^{2} 2x \mathrm d x=\left.\dfrac{x^{2}}{2} \displaystyle \right|_{0} ^{2}=2[/imath].

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến)
Từ [imath]f(x)+f(2-x)=2 x \implies \displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(x) \mathrm d x+\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(2-x) \mathrm d x=\displaystyle \int \limits_{0}^{2} 2x \mathrm d x=4 \, \, \, (*)[/imath]
Đặt: [imath]u=2-x \implies \mathrm d u=- \mathrm d x[/imath]
Đổi cận: với [imath]x=0 \implies u=2[/imath] và [imath]x=2 \implies u=0[/imath].
[imath]\implies \displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(2-x) \mathrm d x=\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(u) \mathrm d u=\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(x) \mathrm d x[/imath].
Thay vào [imath](*)[/imath], ta được [imath]2\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(x) \mathrm d x=4 \iff \displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(x) \mathrm d x=2[/imath].

Ví dụ 3: Xét hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath][-1;2][/imath] và thoả mãn [imath]f(x) + 2xf(x^2 - 2) + 3f(1 - x) = 4x^3[/imath]. Tính giá trị của tích phân [imath]I = \displaystyle \int \limits _ {-1}^2 f(x) \, \mathrm d x[/imath]. A. [imath]I = 5[/imath]. B. [imath]I = \dfrac{5}2[/imath] C. [imath]I = 3[/imath] D. [imath]I = 15[/imath]

Lời giải:
Cách 1: (Dùng công thức tính nhanh)
Với: [imath]f(x)+(2 x) f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}[/imath].
Ta có: [imath]A=1 ; B=1 ; C=3[/imath] và [imath]u=x^{2}-2[/imath] thỏa mãn [imath]\left\{\begin{array}{l}u(-1)=-1 \\ u(2)=2\end{array}\right.[/imath].
Khi đó áp dụng công thức có: [imath]I=\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(x) \mathrm dx=\dfrac{1}{1+1+3} \displaystyle \int \limits_{-1}^{2} 4 x^{3} \mathrm{d}x=\left.\dfrac{x^{4}}{5} \displaystyle \right|_{-1} ^{2}=3[/imath]

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến)
Từ [imath]f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}[/imath].
[imath]\implies \displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d}x+ \displaystyle \int \limits_{-1}^{2} 2 x \cdot f\left(x^{2}-2\right) \mathrm{d}x+3\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(1-x) \mathrm{d}x=\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} 4 x^{3} \mathrm{d}x \qquad \, \, (*)[/imath]
+ Đặt [imath]u=x^{2}-2 \implies \mathrm{d}u=2 x \mathrm{d}x[/imath]
Đổi cận: với [imath]x=-1 \implies u=-1[/imath] và [imath]x=2 \implies u=2[/imath].
Khi đó [imath]\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} 2 x \cdot f\left(x^{2}-2\right) \mathrm{d}x=\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(u) \mathrm{d}u=\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d}x \, \, \, \, (1)[/imath]
+ Đặt [imath]t=1-x \implies \mathrm{d}t=-\mathrm{d}x[/imath]
Đổi cận: với [imath]x=-1 \implies t=2[/imath] và [imath]x=2 \implies t=-1[/imath].
Khi đó [imath]\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(1-x) \mathrm{d}x=\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d}x \, \, \, \, (2)[/imath]
Thay [imath](1),(2)[/imath] vào [imath](*)[/imath] ta được: [imath]5 \displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d}x=15 \implies \displaystyle \int \limits_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d}x=3[/imath].

Các bạn làm thử một số bài tập vận dụng nhé

Bài 1: Xét hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath][0;1][/imath] và thoả mãn [imath]f(x) + x f(1 - x^2) + 3f(1 - x) = \dfrac{1}{x +1}[/imath].
Tính giá trị tích phân: [imath]i = \displaystyle \int \limits_0^1 f(x) \, \mathrm dx[/imath]

Bài 2: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] và thỏa mãn [imath]f(x)-8 x^{3} f\left(x^{4}\right)+\dfrac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}=0[/imath]. Tích phân [imath]I=\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm d x=\dfrac{a-b \sqrt{2}}{c}[/imath] với [imath]a, b, c \in \mathbb{Z}[/imath] và [imath]\dfrac{a}{c} ; \dfrac{b}{c}[/imath] tối giản.
Tính [imath]a+b+c[/imath]

Bài 3: Cho hàm số liên tục trên đoạn [imath][-\ln 2 ; \ln 2][/imath] và thỏa mãn [imath]f(x)+f(-x)=\dfrac{1}{e^{x}+1}[/imath]. Biết [imath]\displaystyle \int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm d x=a \ln 2+b \ln 3[/imath] với [imath]a, b \in \mathbb{Q}[/imath].
Tính giá trị của [imath]P=a+b[/imath]

Bài 4: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đạo hàm liên tục trên [imath]\mathbb{R}, f(0)=0[/imath] và [imath]f(x)+f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cos x[/imath] với [imath]\forall x \in \mathbb{R}[/imath].
Giá trị của tích phân [imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x f'(x) \mathrm d x[/imath] bằng