- 19 Tháng tám 2018
- 2,749
- 6,038
- 596
- 24
- Thái Bình
- Đại học Y Dược Thái Bình


Như các bạn đã biết toán tích phân hàm ẩn thường rất xuất hiện trong đề thi THPTQG, đặc biệt là ở các câu VD - VDC. Vậy nên hôm nay mình sẽ giới thiệu đến các bạn một số dạng toán liên quan đến tích phân hàm ẩn để các bạn ôn tập cũng như củng cố lại kiến thức về phần bài tập này
Dạng 1: Cho [imath]\displaystyle \int \limits_a^b f(x) \, \mathrm dx[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits_a^b u'(x)f[u(x)]\, \mathrm dx[/imath]
Phương pháp: Đặt [imath]t = u(x)[/imath]
Lời giải:
Xét tích phân [imath]\displaystyle \int \limits _{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x[/imath]. Đặt [imath]2 x=t \iff \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \mathrm{d}t[/imath].
Khi [imath]x=0[/imath] thì [imath]t=0[/imath]; khi [imath]x=2[/imath] thì [imath]t=4[/imath]. Do đó [imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(t) \mathrm{d}t=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \cdot 16=8[/imath].
Lời giải:
Đặt [imath]t=\sqrt{x} \iff \mathrm{d} t=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath];
Đổi cận: [imath]x=1 \iff t=1, x=4 \iff t=2[/imath]
[imath]I= \displaystyle \int \limits _{1}^{4} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(t) 2 \mathrm{d} t=2 \displaystyle \int \limits _{1}^{2} f(t) \mathrm{d}t =2 \cdot 2=4[/imath]
Lời giải:
+ Xét [imath]I=\displaystyle \int \limits _{1}^{16} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=6[/imath], đặt [imath]\sqrt{x}=t \iff \dfrac{\mathrm{d} x}{2 \sqrt{x}}=\mathrm{d} t[/imath]
Đổi cận: [imath]x=1 \iff t=1 ; x=16 \iff t=4[/imath] nên [imath]I=2 \displaystyle \int \limits_{1}^{4} f(t) \mathrm{d} t=6 \iff \displaystyle \int \limits_{1}^{4} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{6}{2}=3[/imath].
+ Xét [imath]J=\displaystyle \int\limits _{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{d} x=3[/imath], đặt [imath]\sin x=u \iff \cos x \mathrm{d} x=\mathrm{d} u[/imath]
Đổi cận: [imath]x=0 \iff u=0 ; x=\dfrac{\pi}{2} \iff u=1 \iff J=\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=3[/imath]
Vậy [imath]I=\displaystyle \int \limits_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int \limits _{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=3+3=6[/imath].
Lời giải:
- Xét: [imath]\displaystyle \int \limits_0^1 f(2x) \, \mathrm dx = 2[/imath].
Đặt: [imath]u = 2x \implies \mathrm du = 2 \mathrm dx[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 0 & 1 \\ \hline u & 0 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies 2 = \displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x = \dfrac{1}2 \displaystyle \int \limits_0^4 f(u) \mathrm du \implies \displaystyle \int \limits_0^4 f(u) \mathrm du = 4[/imath]
- Xét: [imath]\displaystyle \int \limits_0^2 f(6x) \, \mathrm dx = 14[/imath].
Đặt [imath]v = 6x \implies \mathrm dv = 6 \mathrm dx[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 0 & 2 \\ \hline v & 0 & 12 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies 14= \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{6} \displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v \iff \displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v=84[/imath]
- Xét: [imath]\displaystyle\int \limits _{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x= \displaystyle\int \limits _{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x+ \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath]
[imath]\bullet[/imath] Tính [imath]I_{1}= \displaystyle\int \limits _{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath]
Đặt: [imath]t=5|x|+2[/imath]. Khi [imath]-2<x<0, t=-5 x+2 \implies \mathrm{d}t=-5 \mathrm{d} x[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & -2 & 0 \\ \hline t & 12 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies I_{1}=\dfrac{-1}{5}\displaystyle\int \limits _{12}^{2} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{5}\left[\displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t - \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\dfrac{1}{5}(84-4)=16[/imath]
[imath]\bullet[/imath] Tính [imath]I_{1}=\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath].
Đặt [imath]t=5|x|+2[/imath]. Khi [imath]0<x<2, t=5 x+2 \implies \mathrm{d} t=5 \mathrm{d} x[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 2 & 0 \\ \hline t & 12 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies I_{2}=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int \limits _{2}^{12} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{5}\left[\displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t-\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\dfrac{1}{5}(84-4)=16[/imath]
Vậy [imath]\displaystyle\int \limits _{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x=32[/imath].
Lời giải:
Đặt [imath]t=\sqrt{3 \cos x+1} \implies \mathrm{d} t=\dfrac{-3 \sin x}{2 \sqrt{3 \cos x+1}} \mathrm{d} x[/imath].
Đổi cận: [imath]x=0 \implies t=2 ; x=\dfrac{\pi}{2} \implies t=1[/imath].
Khi đó: [imath]J=\displaystyle\int \limits_{2}^{1}-\dfrac{2}{3} f(t) \mathrm{d} t=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} \dfrac{2}{3} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{2}{3} \displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3} \cdot 2=\dfrac{4}{3}[/imath].
Lời giải:
Ta có [imath]\displaystyle\int \limits_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4}\left[\dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\right] \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x+\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{\ln x}{x} \mathrm{d} x[/imath].
Xét [imath]K=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath].
Đặt [imath]2 \sqrt{x}-1=t \implies \sqrt{x}=\dfrac{t+1}{2} \implies \dfrac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}=\mathrm{d} t[/imath]
[imath]\implies K=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(t) \mathrm{d} t=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x[/imath].
Xét [imath]M=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{\ln x}{x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \ln x \mathrm{d}(\ln x)=\left.\dfrac{\ln ^{2} x}{2}\displaystyle \right|_{1} ^{4}=2 \ln ^{2} 2[/imath].
Do đó [imath]\displaystyle\int \limits_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x+2 \ln ^{2} 2 \implies \displaystyle\int \limits_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln ^{2} 2[/imath].
Các bạn làm thử một số bài tập tự luyện của dạng 1 nhé
Bài 1: Cho [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{1} f(2 x+1) \mathrm{d} x=12[/imath] và [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{d} x=3[/imath]. Tính [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x[/imath].
Bài 2: Cho [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathrm R[/imath] và thoả mãn [imath]f( 4 - x) = f(x)[/imath]. Biết [imath]\displaystyle \int \limits_1^3 xf(x) \mathrm dx = 5[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits _1^3 f(x)\, \mathrm dx[/imath].
Bài 3: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][1;3][/imath] thoả mãn [imath]f(4 - x) = f(x), \forall x \in [1;3][/imath] và [imath]\displaystyle \int \limits_1^3 f(x)\, \mathrm dx = -2[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits _1^3 f(x) \mathrm dx[/imath]
Mình sẽ cập nhật các dạng bài tiếp theo ở bài sau. Các bạn nhớ theo dõi nhé
TÍCH PHÂN HÀM ẨN VD - VDC
Dạng 1: Cho [imath]\displaystyle \int \limits_a^b f(x) \, \mathrm dx[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits_a^b u'(x)f[u(x)]\, \mathrm dx[/imath]
Phương pháp: Đặt [imath]t = u(x)[/imath]
Ví dụ 1: Cho [imath]\displaystyle \int \limits_0^4 f(x)\, \mathrm dx = 16[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits_0^2 f(2x) \,\mathrm dx[/imath] A. 16 B. 32 C. 4 D. 8 |
Xét tích phân [imath]\displaystyle \int \limits _{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x[/imath]. Đặt [imath]2 x=t \iff \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \mathrm{d}t[/imath].
Khi [imath]x=0[/imath] thì [imath]t=0[/imath]; khi [imath]x=2[/imath] thì [imath]t=4[/imath]. Do đó [imath]\displaystyle \int \limits_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(t) \mathrm{d}t=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} \cdot 16=8[/imath].
Ví dụ 2: Cho [imath]\displaystyle \int \limits _{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2[/imath]. Tính [imath]I=\displaystyle \int \limits _{1}^{4} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath] bằng: A. [imath]I = 1[/imath] B. [imath]I = 2[/imath] C. [imath]I = 4[/imath] D. [imath]I = \dfrac{1}2[/imath] |
Đặt [imath]t=\sqrt{x} \iff \mathrm{d} t=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath];
Đổi cận: [imath]x=1 \iff t=1, x=4 \iff t=2[/imath]
[imath]I= \displaystyle \int \limits _{1}^{4} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(t) 2 \mathrm{d} t=2 \displaystyle \int \limits _{1}^{2} f(t) \mathrm{d}t =2 \cdot 2=4[/imath]
Ví dụ 3: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] thoả mãn [imath]\displaystyle \int \limits_{1}^{16} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=6[/imath] và [imath]\displaystyle\int \limits _{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{d} x=3[/imath]. Tính tích phân [imath]I=\displaystyle \int \limits _{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x[/imath]. A. [imath]I=-2[/imath] B. [imath]I=6[/imath] C. [imath]I=9[/imath] D. [imath]I=2[/imath] |
+ Xét [imath]I=\displaystyle \int \limits _{1}^{16} \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x=6[/imath], đặt [imath]\sqrt{x}=t \iff \dfrac{\mathrm{d} x}{2 \sqrt{x}}=\mathrm{d} t[/imath]
Đổi cận: [imath]x=1 \iff t=1 ; x=16 \iff t=4[/imath] nên [imath]I=2 \displaystyle \int \limits_{1}^{4} f(t) \mathrm{d} t=6 \iff \displaystyle \int \limits_{1}^{4} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{6}{2}=3[/imath].
+ Xét [imath]J=\displaystyle \int\limits _{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{d} x=3[/imath], đặt [imath]\sin x=u \iff \cos x \mathrm{d} x=\mathrm{d} u[/imath]
Đổi cận: [imath]x=0 \iff u=0 ; x=\dfrac{\pi}{2} \iff u=1 \iff J=\displaystyle \int \limits_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=3[/imath]
Vậy [imath]I=\displaystyle \int \limits_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int \limits _{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=3+3=6[/imath].
Ví dụ 4: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] thỏa [imath]\displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2[/imath] và [imath]\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14[/imath]. Tính [imath]\displaystyle\int \limits_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm d x[/imath] A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 |
- Xét: [imath]\displaystyle \int \limits_0^1 f(2x) \, \mathrm dx = 2[/imath].
Đặt: [imath]u = 2x \implies \mathrm du = 2 \mathrm dx[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 0 & 1 \\ \hline u & 0 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies 2 = \displaystyle\int \limits _{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x = \dfrac{1}2 \displaystyle \int \limits_0^4 f(u) \mathrm du \implies \displaystyle \int \limits_0^4 f(u) \mathrm du = 4[/imath]
- Xét: [imath]\displaystyle \int \limits_0^2 f(6x) \, \mathrm dx = 14[/imath].
Đặt [imath]v = 6x \implies \mathrm dv = 6 \mathrm dx[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 0 & 2 \\ \hline v & 0 & 12 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies 14= \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{6} \displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v \iff \displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v=84[/imath]
- Xét: [imath]\displaystyle\int \limits _{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x= \displaystyle\int \limits _{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x+ \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath]
[imath]\bullet[/imath] Tính [imath]I_{1}= \displaystyle\int \limits _{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath]
Đặt: [imath]t=5|x|+2[/imath]. Khi [imath]-2<x<0, t=-5 x+2 \implies \mathrm{d}t=-5 \mathrm{d} x[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & -2 & 0 \\ \hline t & 12 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies I_{1}=\dfrac{-1}{5}\displaystyle\int \limits _{12}^{2} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{5}\left[\displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t - \displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\dfrac{1}{5}(84-4)=16[/imath]
[imath]\bullet[/imath] Tính [imath]I_{1}=\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x[/imath].
Đặt [imath]t=5|x|+2[/imath]. Khi [imath]0<x<2, t=5 x+2 \implies \mathrm{d} t=5 \mathrm{d} x[/imath]
Đổi cận:
[imath]\begin{array}{c|c|cc} x & 2 & 0 \\ \hline t & 12 & 2 \\ \hline \end{array}[/imath]
[imath]\implies I_{2}=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int \limits _{2}^{12} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{5}\left[\displaystyle\int \limits _{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t-\displaystyle\int \limits _{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\dfrac{1}{5}(84-4)=16[/imath]
Vậy [imath]\displaystyle\int \limits _{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x=32[/imath].
Ví dụ 5: Cho [imath]I=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2[/imath]. Giá trị của [imath]J=\displaystyle\int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x \cdot f(\sqrt{3 \cos x+1})}{\sqrt{3 \cos x+1}} \mathrm{d} x[/imath] bằng: A. 2 . B. [imath]-\dfrac{4}{3}[/imath]. C. [imath]\dfrac{4}{3}[/imath]. D. [imath]-2[/imath]. |
Đặt [imath]t=\sqrt{3 \cos x+1} \implies \mathrm{d} t=\dfrac{-3 \sin x}{2 \sqrt{3 \cos x+1}} \mathrm{d} x[/imath].
Đổi cận: [imath]x=0 \implies t=2 ; x=\dfrac{\pi}{2} \implies t=1[/imath].
Khi đó: [imath]J=\displaystyle\int \limits_{2}^{1}-\dfrac{2}{3} f(t) \mathrm{d} t=\displaystyle\int \limits_{1}^{2} \dfrac{2}{3} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{2}{3} \displaystyle\int \limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{2}{3} \cdot 2=\dfrac{4}{3}[/imath].
Ví dụ 6: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][1 ; 4][/imath] và thỏa mãn [imath]f(x)=\dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}[/imath]. Tính tích phân [imath]I=\displaystyle\int \limits_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x[/imath]. A. [imath]I=3+2 \ln ^{2} 2[/imath]. B. [imath]I=2 \ln ^{2} 2[/imath]. C. [imath]I=\ln ^{2} 2[/imath]. D. [imath]I=2 \ln 2[/imath]. |
Ta có [imath]\displaystyle\int \limits_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4}\left[\dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\right] \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x+\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{\ln x}{x} \mathrm{d} x[/imath].
Xét [imath]K=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x[/imath].
Đặt [imath]2 \sqrt{x}-1=t \implies \sqrt{x}=\dfrac{t+1}{2} \implies \dfrac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}=\mathrm{d} t[/imath]
[imath]\implies K=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(t) \mathrm{d} t=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x[/imath].
Xét [imath]M=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \dfrac{\ln x}{x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{4} \ln x \mathrm{d}(\ln x)=\left.\dfrac{\ln ^{2} x}{2}\displaystyle \right|_{1} ^{4}=2 \ln ^{2} 2[/imath].
Do đó [imath]\displaystyle\int \limits_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \limits_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x+2 \ln ^{2} 2 \implies \displaystyle\int \limits_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln ^{2} 2[/imath].
Các bạn làm thử một số bài tập tự luyện của dạng 1 nhé

Bài 1: Cho [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{1} f(2 x+1) \mathrm{d} x=12[/imath] và [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{d} x=3[/imath]. Tính [imath]\displaystyle\int \limits_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x[/imath].
Bài 2: Cho [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathrm R[/imath] và thoả mãn [imath]f( 4 - x) = f(x)[/imath]. Biết [imath]\displaystyle \int \limits_1^3 xf(x) \mathrm dx = 5[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits _1^3 f(x)\, \mathrm dx[/imath].
Bài 3: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][1;3][/imath] thoả mãn [imath]f(4 - x) = f(x), \forall x \in [1;3][/imath] và [imath]\displaystyle \int \limits_1^3 f(x)\, \mathrm dx = -2[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int \limits _1^3 f(x) \mathrm dx[/imath]
Mình sẽ cập nhật các dạng bài tiếp theo ở bài sau. Các bạn nhớ theo dõi nhé
Last edited: